1.5 이차 상호 법칙의 증명 (Proof of QR)
이차 상호 법칙은 두 홀수 소수 $p$와 $q$ 사이의 이차잉여 관계를 연결하는 정수론의 핵심 정리입니다. 여기서는 아이젠슈타인(Eisenstein)의 격자점 계산법을 통해 증명합니다.
1. 준비 단계: 가우스의 보조정리 (Gauss's Lemma)
홀수 소수 $p$와 $\gcd(a, p)=1$인 정수 $a$에 대하여, 집합 $S = \{a, 2a, \dots, \frac{p-1}{2}a\}$를 생각합시다. $S$의 원소들을 법 $p$에 대한 최소 양의 잉여로 나타냈을 때, $p/2$보다 큰 원소의 개수를 $n$이라 하면 다음이 성립합니다.
$$\left( \frac{a}{p} \right) = (-1)^n$$
2. 아이젠슈타인의 보조정리
증명을 기하학적으로 변환하기 위해, 홀수 $a$에 대해 다음 식을 도출합니다.
$$\left( \frac{a}{p} \right) = (-1)^{\sum_{k=1}^{(p-1)/2} \lfloor ka/p \rfloor}$$
이 식은 좌표평면 위의 직사각형 영역 안에 있는 격자점(Lattice Points)의 개수와 연결됩니다.
3. 이차 상호 법칙의 핵심 증명
서로 다른 두 홀수 소수 $p, q$에 대하여, 꼭짓점이 $(0,0), (p/2, 0), (p/2, q/2), (0, q/2)$인 직사각형 내부의 격자점 개수를 $N$이라 합시다.
$$N = \frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2}$$
이 직사각형을 대각선 $y = (q/p)x$로 나눕니다. 대각선 위에는 격자점이 존재하지 않습니다($\gcd(p, q)=1$이므로).
- 대각선 아래의 격자점 개수: $\sum_{k=1}^{(p-1)/2} \lfloor kq/p \rfloor$
- 대각선 위의 격자점 개수: $\sum_{j=1}^{(q-1)/2} \lfloor jp/q \rfloor$
따라서 두 영역의 합은 전체 격자점 개수 $N$과 같습니다.
4. 최종 결론
아이젠슈타인의 보조정리에 따라 다음이 성립합니다.
$$\left( \frac{q}{p} \right) \left( \frac{p}{q} \right) = (-1)^{\sum \lfloor kq/p \rfloor} (-1)^{\sum \lfloor jp/q \rfloor} = (-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2}}$$
이로써 이차 상호 법칙이 증명되었습니다.