2.3 디오판토스 방정식 (Diophantine Equations)

디오판토스 방정식은 해의 범위가 정수로 제한된 다항 방정식을 의미합니다. 해의 존재성 여부와 무한성을 판별하는 과정에서 최대공약수, 연분수, 그리고 단위근의 개념이 중요하게 사용됩니다.

1. 선형 디오판토스 방정식

가장 기본적인 형태로 $ax + by = c$ ($a, b, c$는 정수) 꼴을 가집니다.

Existence Condition

$\gcd(a, b) = d$라고 할 때, $d \mid c$인 경우에만 정수해가 존재합니다.

$$\text{일반해: } x = x_0 + \frac{b}{d}k, \quad y = y_0 - \frac{a}{d}k \quad (k \in \mathbb{Z})$$

$x^2 + y^2 = z^2$을 만족하는 양의 정수해 $(x, y, z)$를 의미합니다.

원시 피타고라스 삼쌍($\gcd(x, y, z)=1$)은 서로소인 정수 $u > v > 0$ (하나는 짝수, 하나는 홀수)에 대해 다음과 같이 매개변수화됩니다.

$$x = u^2 - v^2, \quad y = 2uv, \quad z = u^2 + v^2$$

제곱수가 아닌 양의 정수 $D$에 대하여 $x^2 - Dy^2 = 1$ 형태의 방정식을 펠 방정식이라 합니다.

이 방정식은 항상 자명한 해 $(1, 0)$을 갖습니다.
비자명한 최소해 $(x_1, y_1)$은 $\sqrt{D}$의 연분수(Continued Fraction) 전개를 통해 구할 수 있습니다.
최소해를 알면 모든 해 $(x_n, y_n)$을 다음과 같이 생성할 수 있습니다: $x_n + y_n\sqrt{D} = (x_1 + y_1\sqrt{D})^n$.

페르마의 마지막 정리: $n \ge 3$일 때 $x^n + y^n = z^n$은 0이 아닌 정수해를 갖지 않습니다. (1995년 앤드루 와일즈 증명)

카탈란 추측: $x^a - y^b = 1$을 만족하는 연속된 거듭제곱수는 $3^2 - 2^3 = 1$이 유일합니다. (2002년 미하일레스쿠 증명)