2.3 디오판토스 방정식 실전 예제 10선
선형 방정식의 해의 존재성부터 펠 방정식의 무한한 해 생성, 피타고라스 삼쌍의 매개변수화까지 정수해 탐구의 정수를 다룹니다.
Ex 1. 선형 방정식의 해의 존재성
문제: $21x + 14y = 35$ 의 모든 정수해를 구하시오.
$\gcd(21, 14) = 7$ 이고 $7 \mid 35$ 이므로 해가 존재한다.
양변을 7로 나누면 $3x + 2y = 5$ 이다.
특수해 하나를 찾으면 $x_0 = 1, y_0 = 1$ 이다.
일반해는 $x = 1 + 2k, \quad y = 1 - 3k \quad (k \in \mathbb{Z})$ 이다.
Ex 2. 원시 피타고라스 삼쌍 (PPT)
문제: $u=5, v=2$ 를 이용하여 원시 피타고라스 삼쌍 $(x, y, z)$를 생성하시오.
서로소인 $u, v$에 대해 $x = u^2 - v^2, y = 2uv, z = u^2 + v^2$ 이다.
$x = 25 - 4 = 21$
$y = 2 \cdot 5 \cdot 2 = 20$
$z = 25 + 4 = 29$
$\therefore (21, 20, 29)$ 는 $21^2 + 20^2 = 441 + 400 = 841 = 29^2$ 를 만족한다.
Ex 3. 펠 방정식 (Pell's Equation)
문제: $x^2 - 3y^2 = 1$ 의 최소 정수해(fundamental solution)를 구하시오.
$\sqrt{3}$ 의 연분수 전개는 $[1; 1, 2, 1, 2, \dots]$ 이다.
수렴값(convergents)을 구하면: $1/1, 1 + 1/1 = 2/1$
$(2, 1)$ 을 대입하면 $2^2 - 3(1)^2 = 4 - 3 = 1$ 이 성립한다.
$\therefore$ 최소해는 $(x_1, y_1) = (2, 1)$ 이다.
Ex 4. 해의 무한성 증명
문제: $x^2 - 2y^2 = 1$ 의 최소해가 $(3, 2)$일 때, 다음 해를 구하시오.
$(x_1 + y_1\sqrt{2})^2 = (3 + 2\sqrt{2})^2 = 9 + 8 + 12\sqrt{2} = 17 + 12\sqrt{2}$
따라서 다음 해는 $(17, 12)$ 이다.
실제 확인: $17^2 - 2(12^2) = 289 - 2(144) = 289 - 288 = 1$.
Ex 5. 해가 존재하지 않는 경우
문제: $x^2 + y^2 = 1234567$ 의 정수해가 없음을 보이시오.
모든 제곱수는 $\pmod 4$ 로 $0$ 또는 $1$ 이다.
따라서 $x^2 + y^2 \equiv 0, 1, 2 \pmod 4$ 만 가능하다.
하지만 $1234567 \equiv 67 \equiv 3 \pmod 4$ 이다.
$\therefore$ 정수해는 존재할 수 없다.
Ex 6. 실생활 응용 (연립형)
문제: 3원짜리 사탕과 5원짜리 젤리를 섞어 100원을 채우는 양의 정수 $(x, y)$의 쌍은 몇 개인가?
$3x + 5y = 100$
특수해: $y=20, x=0$ (0은 양의 정수가 아니므로 제외)
일반해: $x = 0 + 5k, y = 20 - 3k$
$x > 0 \implies k > 0$
$y > 0 \implies 20 - 3k > 0 \implies k < 6.66$
따라서 $k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ 으로 총 6가지이다.
Ex 7. 단위 분수 분해
문제: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$ 를 만족하는 자연수해 $(x, y)$를 모두 구하시오.
양변에 $4xy$를 곱하고 정리하면 $(x-4)(y-4) = 16$ 이다.
16의 약수쌍 $(d_1, d_2)$에 대해 $x-4=d_1, y-4=d_2$ 이다.
$(1, 16), (2, 8), (4, 4), (8, 2), (16, 1)$
해: $(5, 20), (6, 12), (8, 8), (12, 6), (20, 5)$.
Ex 8. 기하학적 디오판토스
문제: 빗변의 길이가 25인 직각삼각형의 두 변이 정수일 때, 그 길이를 구하시오.
$x^2 + y^2 = 25^2 = 625$
원시 삼쌍 $(3, 4, 5)$에 5를 곱한 $(15, 20, 25)$ 가 가능하다.
또한 $u=4, v=3$ 인 원시 삼쌍 $(7, 24, 25)$ 도 가능하다.
$\therefore (15, 20)$ 또는 $(7, 24)$ 이다.
Ex 9. 지수 디오판토스 방정식
문제: $x^2 - y^3 = 1$ 의 자연수해를 구하시오.
$x^2 - 1 = y^3 \implies (x-1)(x+1) = y^3$
$x=3, y=2$ 일 때 $9 - 8 = 1$ 이 성립한다.
이것은 카탈란 추측($x^a - y^b = 1$)의 유일한 자연수해 케이스 중 하나이다.
Ex 10. 삼각수이면서 제곱수인 수
문제: $n$번째 삼각수 $\frac{n(n+1)}{2}$ 가 제곱수 $m^2$ 이 되는 첫 번째 비자명한 $n$을 구하시오.
$n(n+1) = 2m^2 \implies (2n+1)^2 - 8m^2 = 1$
$X^2 - 8Y^2 = 1$ (단, $X = 2n+1, Y=m$)
최소해는 $(3, 1)$이나 $n=1$이 되므로(자명해), 다음 해를 구한다.
$(3 + \sqrt{8})^2 = 9 + 8 + 6\sqrt{8} = 17 + 6\sqrt{8}$
$2n+1 = 17 \implies n=8$
$\therefore 8$번째 삼각수 $36$은 $6^2$ 이다.