3.1 소수의 분포 (Distribution of Primes)

소수 정리(PNT)는 양의 정수 $x$ 이하에 존재하는 소수의 개수 $\pi(x)$가 $x \to \infty$일 때 어떻게 점근적으로 행동하는지를 설명하는 정수론의 이정표입니다.

1. 소수 계량 함수 $\pi(x)$

$\pi(x)$는 $x$보다 작거나 같은 소수의 개수를 나타냅니다. 가우스와 르장드르는 수많은 관찰 끝에 소수의 밀도가 대수함수(logarithm)에 반비례한다는 가설을 세웠습니다.

Prime Number Theorem

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x / \ln x} = 1$$

즉, 큰 $x$에 대하여 $\pi(x) \approx \frac{x}{\ln x}$입니다. 더 정밀한 근사는 다음과 같은 로그 적분 함수(Logarithmic integral)를 통해 얻어집니다.

$$\pi(x) \sim \text{Li}(x) = \int_2^x \frac{1}{\ln t} dt$$

소수 정리를 증명하기 위해 소수 자체보다 다루기 쉬운 가중치 합 함수를 도입합니다.

제1종 체비셰프 함수 $\theta(x)$

$\theta(x) = \sum_{p \le x} \ln p$

제2종 체비셰프 함수 $\psi(x)$

$\psi(x) = \sum_{p^k \le x} \ln p = \sum_{n \le x} \Lambda(n)$ (여기서 $\Lambda(n)$은 폰 망골트 함수)

핵심 성질: 소수 정리는 $\psi(x) \sim x$라는 명제와 논리적으로 동치입니다.

체비셰프는 소수 정리가 완전히 증명되기 전, $\pi(x)$의 상한과 하한을 다음과 같이 결정했습니다.

$$A \frac{x}{\ln x} < \pi(x) < B \frac{x}{\ln x}$$

이 결과로부터 베르트랑 공준($n < p \le 2n$ 사이에 항상 소수 $p$가 존재한다)을 증명해냈습니다.

소수의 분포는 리만 제타 함수 $\zeta(s)$의 복소수 평면 위에서의 영점(zeros) 분포와 직결됩니다. 특히 리만 가설이 참이라면, 소수 정리의 오차항은 $O(\sqrt{x} \ln x)$ 수준으로 극도로 작아집니다.