3.2 리만 제타 함수 & 오일러 곱
리만 제타 함수는 복소수 변수 $s$에 대한 함수로, 정수론의 산술적 성질을 해석학적 도구로 분석할 수 있게 해주는 핵심적인 도구입니다.
1. 리만 제타 함수 $\zeta(s)$의 정의
실수부 $\text{Re}(s) > 1$ 인 복소수 $s$에 대하여, 리만 제타 함수는 다음과 같은 무한급수로 정의됩니다.
$$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \dots$$
이 급수는 $\text{Re}(s) > 1$ 영역에서 절대 수렴하며, 복소평면 전체로 해석적 연속(Analytic Continuation)이 가능합니다 (단, $s=1$은 단순 극점).
2. 오일러 곱 (Euler Product)
레온하르트 오일러는 1737년에 이 급수가 모든 소수 $p$에 대한 무한곱과 같음을 발견했습니다. 이는 산술의 기본 정리를 해석학적으로 표현한 것입니다.
Fundamental Identity
$$\zeta(s) = \prod_{p \in \text{primes}} \frac{1}{1 - p^{-s}} = \prod_{p} \left( 1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \dots \right)$$
이 항등식은 제타 함수의 함숫값이나 영점의 위치가 소수의 분포와 직결되어 있음을 시사합니다.
3. 주요 성질과 가치
- 소수의 무한성: $s \to 1^+$ 일 때 $\zeta(1)$이 조화급수로 발산한다는 사실은 소수가 무한함을 증명하는 해석적 근거가 됩니다.
- 바젤 문제: $s=2$ 일 때, $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$ 임을 통해 원주율과 정수의 신비로운 관계를 보여줍니다.
- 리만 가설: 제타 함수의 비자명 영점(non-trivial zeros)들이 모두 $\text{Re}(s) = 1/2$ 선상에 존재한다는 가설로, 참일 경우 소수의 오차항이 극도로 작아짐을 의미합니다.