3.2 리만 제타 함수 & 오일러 곱 실전 예제 10선
무한 급수 $\sum n^{-s}$와 모든 소수의 곱 $\prod (1-p^{-s})^{-1}$ 사이의 항등식을 통해 소수의 무한성과 분포를 해석적으로 규명합니다.
Ex 1. ζ(s)의 정의
문제: $\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$ 가 $\text{Re}(s) > 1$ 에서 절대 수렴함을 증명하시오.
적분 판정법을 사용하면 $\int_1^{\infty} x^{-s} dx$ 가 $s > 1$ 일 때 수렴함을 알 수 있다.
복소수 $s = \sigma + it$ 에 대해 $|n^{-s}| = |n^{-\sigma} e^{-it \ln n}| = n^{-\sigma}$ 이다.
따라서 실수부 $\sigma > 1$ 이면 급수는 절대 수렴한다.
Ex 2. 오일러 곱 (Euler Product)
문제: $\zeta(s) = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}$ 임을 보이시오.
각 소수 $p$에 대해 기하급수 $\frac{1}{1-p^{-s}} = 1 + p^{-s} + p^{-2s} + \dots$ 이다.
모든 소수에 대해 이들을 곱하면 $(1 + 2^{-s} + 2^{-2s} + \dots)(1 + 3^{-s} + 3^{-2s} + \dots) \dots$
산술의 기본 정리에 의해 모든 자연수 $n = p_1^{a_1} \dots p_k^{a_k}$ 가 단 한 번씩 $n^{-s}$ 형태로 나타난다.
$\therefore \prod_p (1-p^{-s})^{-1} = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}$.
Ex 3. ζ(2)의 값
문제: $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$ 임을 이용하여, 임의의 두 정수가 서로소일 확률을 구하시오.
두 정수 $a, b$가 소수 $p$를 공약수로 가질 확률은 $1/p^2$이다.
어떤 소수로도 나누어떨어지지 않을 확률은 $\prod_p (1 - 1/p^2) = 1/\zeta(2)$ 이다.
따라서 확률은 $1 / (\pi^2/6) = 6/\pi^2 \approx 0.6079$ (약 61%)이다.
Ex 4. 1/ζ(s)의 급수 표현
문제: $\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}$ 임을 증명하시오.
오일러 곱에 의해 $1/\zeta(s) = \prod_p (1 - p^{-s})$ 이다.
전개하면 $(-p_1^{-s})(-p_2^{-s}) \dots$ 형태의 항들이 나오며, $n$이 서로 다른 $k$개 소수의 곱이면 $(-1)^k = \mu(n)$ 이 계수가 된다.
제곱인수가 있으면 0이 되므로 뫼비우스 함수의 정의와 정확히 일치한다.
Ex 5. ζ(s)^2의 정체
문제: $\zeta(s)^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\tau(n)}{n^s}$ 임을 보이시오.
$\zeta(s)^2 = (\sum n^{-s})(\sum m^{-s}) = \sum_n \sum_m (nm)^{-s}$ 이다.
$N = nm$ 이라 두면, 특정 $N$에 대해 이를 만족하는 $(n, m)$ 쌍의 개수는 $N$의 약수의 개수 $\tau(N)$이다.
$\therefore \zeta(s)^2 = \sum_{N=1}^{\infty} \frac{\tau(N)}{N^s}$.
Ex 6. 유클리드 정리의 재해석
문제: $\zeta(s)$의 $s \to 1^+$ 발산을 이용하여 소수가 무한함을 보이시오.
$\lim_{s \to 1^+} \zeta(s) = \sum \frac{1}{n} = \infty$ (조화급수)이다.
만약 소수가 유한하다면 오일러 곱 $\prod_{p \in \text{Finite}} (1-p^{-s})^{-1}$ 은 $s=1$ 에서 유한한 값을 가져야 한다.
이는 모순이므로 소수는 무한히 존재해야 한다.
Ex 7. -ζ'(s)/ζ(s)의 급수
문제: $-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s}$ 임을 유도하시오.
$\ln \zeta(s) = -\sum_p \ln(1-p^{-s})$ 이다. 미분하면:
$\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = -\sum_p \frac{p^{-s} \ln p}{1-p^{-s}} = -\sum_p \ln p (p^{-s} + p^{-2s} + p^{-3s} + \dots)$
$\Lambda(n)$은 $n=p^k$ 일 때 $\ln p$, 아니면 0이므로 급수 표현이 성립한다.
Ex 8. 약수 합 함수와의 관계
문제: $\zeta(s)\zeta(s-1) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma(n)}{n^s}$ 임을 보이시오.
$\zeta(s) = \sum n^{-s}, \zeta(s-1) = \sum m^{-(s-1)} = \sum m \cdot m^{-s}$ 이다.
곱하면 $\sum_{n,m} \frac{m}{(nm)^s} = \sum_N \frac{1}{N^s} (\sum_{m|N} m)$ 이 된다.
괄호 안은 약수의 합 $\sigma(N)$이므로 성립한다.
Ex 9. 임계 구역(Critical Strip)
문제: $\zeta(s)$의 비자명 영점들이 $0 < \text{Re}(s) < 1$ 사이에 존재해야 하는 이유를 간략히 서술하시오.
1) $\text{Re}(s) > 1$ 에서는 오일러 곱이 수렴하고 각 항이 0이 아니므로 영점이 없다.
2) $\text{Re}(s) < 0$ 에서는 함수 방정식(Functional Equation)에 의해 자명한 영점($-2, -4, \dots$)을 제외하고는 영점이 없다.
따라서 모든 흥미로운 영점은 $0 \le \text{Re}(s) \le 1$ 에 위치하며, 소수 정리에 의해 선상($\text{Re}(s)=1$)에는 영점이 없음이 증명되었다.
Ex 10. 현대 수학의 최대 난제
문제: 리만 가설의 내용과 그것이 소수 정리의 오차항에 주는 의미를 서술하시오.
내용: 모든 비자명 영점의 실수부는 $1/2$ 이다.
의미: 가설이 참이면 소수 계량 함수의 오차 $|\pi(x) - \text{Li}(x)|$ 가 $\sqrt{x}$ 에 비례하는 수준으로 매우 작아짐을 뜻하며, 소수가 최대한 무작위적이면서도 고르게 분포함을 보장한다.