3.3 디리클레 정리 & L-함수
디리클레 정리는 "서로소인 두 정수 $a, d$에 대해, 산술급수 $a + nd$ ($n=0, 1, 2, \dots$) 꼴의 소수가 무한히 존재한다"는 것을 증명합니다.
1. 산술급수의 소수 (Primes in Arithmetic Progressions)
단순한 소수의 무한성을 넘어, 특정 잉여류(residue class) 내에서의 소수 분포를 다룹니다.
Dirichlet's Theorem
$\gcd(a, d) = 1$이면, 집합 $\{a, a+d, a+2d, a+3d, \dots\}$는 무한히 많은 소수를 포함합니다.
- 예: $4n+1$ 꼴의 소수 ($5, 13, 17, 29, \dots$)는 무한하다.
- 예: $4n+3$ 꼴의 소수 ($3, 7, 11, 19, \dots$)는 무한하다.
2. 디리클레 L-함수의 정의
디리클레 정리를 증명하기 위해 리만 제타 함수를 확장한 L-함수를 도입합니다. 이는 디리클레 지표(Dirichlet Character) $\chi$를 계수로 사용합니다.
$$L(s, \chi) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s}$$
Euler Product for L-functions
$$L(s, \chi) = \prod_{p} \left( 1 - \frac{\chi(p)}{p^s} \right)^{-1}$$
3. 핵심 증명 도구: 디리클레 지표
법 $d$에 대한 디리클레 지표 $\chi$는 기약잉여계에서 복소수 단위원으로 가는 곱셈적 함수입니다.
- 직교성(Orthogonality): 지표들의 합을 통해 특정 잉여류 $a \pmod d$에 속하는 항들만 걸러낼 수 있습니다.
- 비영성(Non-vanishing): 증명의 가장 어려운 부분은 $L(1, \chi) \neq 0$ 임을 보이는 것이며, 이는 산술급수 내 소수 역수의 합이 발산함을 보장합니다.