4.1 수체(Number Fields) & 대수적 정수
대수적 정수론은 유리수 $\mathbb{Q}$의 확장을 통해 정수의 개념을 넓히고, 그 안에서 소인수분해의 유일성 등 산술적 성질을 탐구하는 분야입니다.
1. 대수적 수 (Algebraic Number)
복소수 $\alpha$가 유리수 계수 다항식 $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$의 근일 때, $\alpha$를 대수적 수라고 합니다.
Definition
유리수체 $\mathbb{Q}$에 대수적 수 $\alpha$를 첨가하여 만든 체 $K = \mathbb{Q}(\alpha)$를 수체(Number Field)라 하며, 이는 $\mathbb{Q}$ 위에서 유한 차원의 벡터 공간 구조를 가집니다.
- 예: $\sqrt{2}, i, \sqrt[3]{5}$ 등은 모두 대수적 수입니다.
- $\pi, e$와 같은 수는 대수적 수가 아닌 초월수(Transcendental number)입니다.
2. 대수적 정수 (Algebraic Integer)
단순한 대수적 수를 넘어, 정수 계수이면서 최고차항의 계수가 1인(monic) 다항식의 근이 되는 수를 특별히 대수적 정수라고 부릅니다.
$x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 = 0 \quad (a_i \in \mathbb{Z})$
모든 유리수 $\mathbb{Q}$ 중에서 대수적 정수인 것은 오직 우리가 아는 정수 $\mathbb{Z}$뿐입니다.
3. 정수환 (Ring of Integers)의 정의
수체 $K$ 내부에 포함된 모든 대수적 정수들의 집합을 정수환이라 하며, $\mathcal{O}_K$로 표기합니다.
Notation: $\mathcal{O}_K$
$\mathcal{O}_K$는 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있어 환(Ring)의 구조를 이루며, 일반적인 산술의 법칙이 적용되는 무대입니다.
$\mathcal{O}_K = \{ \alpha \in K \mid \alpha \text{ is an algebraic integer} \}$
주요 예시
- $K = \mathbb{Q}(i)$ 인 경우: $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[i]$ (가우스 정수)
- $K = \mathbb{Q}(\sqrt{5})$ 인 경우: $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{5}}{2}]$ (황금비 포함)