4.1 수체(Number Fields) & 정수환
유리수체 $\mathbb{Q}$의 유한 확장체인 수체(Number Field)와 그 안에서 정수와 같은 역할을 하는 정수환(Ring of Integers)의 구조를 체계적으로 이해합니다.
Ex 1. 대수적 수 (Algebraic Number)
문제: $\alpha = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ 이 대수적 수임을 보이시오.
$\alpha - \sqrt{2} = \sqrt{3}$
양변을 제곱하면 $\alpha^2 - 2\sqrt{2}\alpha + 2 = 3 \implies \alpha^2 - 1 = 2\sqrt{2}\alpha$
다시 제곱하면 $(\alpha^2 - 1)^2 = 8\alpha^2 \implies \alpha^4 - 10\alpha^2 + 1 = 0$
유리수 계수 다항식 $f(x) = x^4 - 10x^2 + 1$의 근이므로 $\alpha$는 대수적 수이다.
Ex 2. 수체 (Number Field)
문제: 이차체(Quadratic Field) $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$의 기저(Basis)를 제시하고 그 차수(Degree)를 구하시오.
$\mathbb{Q}(\sqrt{d}) = \{ a + b\sqrt{d} \mid a, b \in \mathbb{Q} \}$ 이다.
이 체의 기저는 $\{1, \sqrt{d}\}$ 이며, $\mathbb{Q}$ 위에서의 벡터 공간으로서의 차수는 $[\mathbb{Q}(\sqrt{d}) : \mathbb{Q}] = 2$ 이다.
Ex 3. 대수적 정수 (Algebraic Integer)
문제: $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 가 대수적 정수인지 판별하시오.
대수적 정수는 최고차항 계수가 1인 정수 계수 다항식(monic polynomial)의 근이어야 한다.
$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \implies 2x - 1 = \sqrt{5} \implies 4x^2 - 4x + 1 = 5$
$4x^2 - 4x - 4 = 0 \implies x^2 - x - 1 = 0$
최고차항 계수가 1인 정수 계수 다항식의 근이므로 대수적 정수이다.
Ex 4. 가우스 정수 (Gaussian Integers)
문제: 수체 $K = \mathbb{Q}(i)$의 정수환 $\mathcal{O}_K$를 구하시오.
$\alpha = a + bi$ 가 대수적 정수이기 위해서는 그 최소 다항식이 정수 계수여야 한다.
$(x - (a+bi))(x - (a-bi)) = x^2 - 2ax + (a^2 + b^2)$
$2a \in \mathbb{Z}, a^2 + b^2 \in \mathbb{Z}$를 만족하는 해는 $a, b \in \mathbb{Z}$ 뿐이다.
$\therefore \mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[i] = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Z} \}$.
Ex 5. 이차체 정수환의 일반형
문제: $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ ($d \equiv 1 \pmod 4$)일 때 정수환의 형태를 쓰시오.
$d \equiv 1 \pmod 4$ 인 경우, 정수환은 $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{d}}{2}]$ 이다.
반면 $d \equiv 2, 3 \pmod 4$ 인 경우에는 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 가 된다.
이는 예제 3의 황금비($\frac{1+\sqrt{5}}{2}$)가 정수인 이유와 일맥상통한다 ($5 \equiv 1 \pmod 4$).
Ex 6. 수체에서의 노름 (Field Norm)
문제: $K = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$에서 $\alpha = 3 + 2\sqrt{2}$의 노름 $N(\alpha)$를 구하시오.
$N(a + b\sqrt{d}) = (a + b\sqrt{d})(a - b\sqrt{d}) = a^2 - db^2$
$N(3 + 2\sqrt{2}) = 3^2 - 2(2^2) = 9 - 8 = 1$.
노름이 1인 원소는 해당 정수환의 단위(Unit)가 된다.
Ex 7. 정수환의 환(Ring) 구조
문제: 두 대수적 정수의 합과 곱이 항상 대수적 정수임을 증명하는 핵심 원리를 쓰시오.
대수적 정수 $\alpha, \beta$가 생성하는 $\mathbb{Z}$-가군(module)이 유한 생성임을 이용한다.
$\alpha, \beta$가 각각 유한 차원 벡터 공간의 선형 변환의 고윳값으로 해석될 수 있으므로, 텐서곱 공간을 통해 합과 곱 역시 대수적 정수임이 보장된다.
Ex 8. Eisenstein Integers
문제: $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$의 정수환 $\mathbb{Z}[\omega]$에서 $\omega$의 값을 구하시오.
$-3 \equiv 1 \pmod 4$ 이므로 정수환은 $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}]$ 이다.
이때 $\omega = e^{2\pi i / 3} = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$ 로 두면 이는 정수환의 원소이다.
이들은 복소평면에서 정육각형 격자 구조를 이룬다.
Ex 9. 수체의 판별식
문제: $\mathbb{Q}(i)$의 판별식 $\Delta_K$를 구하시오.
기저 $\{1, i\}$에 대하여:
$\Delta_K = \det \begin{pmatrix} 1 & i \\ 1 & -i \end{pmatrix}^2 = (-2i)^2 = -4$.
일반적으로 $d \equiv 2, 3 \pmod 4$ 이면 $4d$, $d \equiv 1 \pmod 4$ 이면 $d$이다.
Ex 10. 산술의 기본 정리의 붕괴
문제: $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$에서 6의 두 가지 서로 다른 인수분해를 제시하시오.
$6 = 2 \cdot 3$
$6 = (1 + \sqrt{-5})(1 - \sqrt{-5})$
이 수체에서는 유일 인수분해 성질이 깨진다. 이를 해결하기 위해 나중에 **이데알(Ideal)** 개념이 도입된다.