정수환 $\mathbb{Z}$에서는 $6 = 2 \times 3$으로 유일하게 분해되지만, 확장된 수체 $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-5})$의 정수환 $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$에서는 다음과 같은 현상이 발생합니다.
여기서 $2, 3, 1 \pm \sqrt{-5}$는 모두 더 이상 쪼개지지 않는 기약 원소(Irreducible element)입니다. 즉, 하나의 숫자가 서로 다른 두 방식으로 인수분해되어 산술의 기본 정리가 붕괴됩니다.
데데킨트는 숫자가 아닌 아이디얼(집합) 단위로 생각하면 분해의 유일성이 회복됨을 증명했습니다. 위 예시의 숫자 6을 아이디얼 $(6)$으로 보면, 다음과 같은 소아이디얼(Prime Ideal)들의 곱으로 유일하게 분해됩니다.
숫자 수준에서는 보이지 않던 '숨겨진 소인수'들이 집합(아이디얼) 수준에서는 명확히 드러나는 것입니다.
정수론의 '소수' 개념을 일반화한 것이 소아이디얼입니다.
아이디얼 $\mathfrak{p} \subsetneq \mathcal{O}_K$가 다음 성질을 만족할 때 소아이디얼이라 합니다:
$ab \in \mathfrak{p}$ 이면, $a \in \mathfrak{p}$ 또는 $b \in \mathfrak{p}$ 이다.
데데킨트 정역(Dedekind Domain)에서 모든 0이 아닌 아이디얼은 소아이디얼들의 곱으로 유일하게 표현됩니다. 이로써 산술의 기본 정리는 아이디얼 세계에서 부활합니다.
모든 아이디얼이 숫자 하나로 표현되는(주아이디얼) 체계라면 유일분해가 성립합니다. 하지만 그렇지 않은 경우, 그 '어긋난 정도'를 측정하는 지표가 바로 유수(Class Number, $h_K$)입니다.