4.3 클래스 군(Class Group) & 단위군
아이디얼의 산술적 복잡성을 나타내는 클래스 군과 정수환의 가역원 구조를 설명하는 디리클레 단위 정리를 학습합니다.
1. 클래스 군 (Ideal Class Group)
수체 $K$의 정수환 $\mathcal{O}_K$에서 모든 아이디얼이 주아이디얼은 아닙니다. 클래스 군은 아이디얼이 주아이디얼로부터 얼마나 떨어져 있는지를 군론적으로 표현합니다.
Definition
분수 아이디얼(Fractional Ideals)의 군 $I_K$를 주분수 아이디얼의 군 $P_K$로 나눈 몫군을 아이디얼 클래스 군이라 합니다.
$$Cl_K = I_K / P_K$$
이 군의 크기 $h_K = |Cl_K|$를 유수(Class Number)라고 부르며, $h_K=1$인 것은 $\mathcal{O}_K$가 주아이디얼 정역(PID)임을 의미합니다.
2. 디리클레 단위 정리 (Dirichlet's Unit Theorem)
정수환 $\mathcal{O}_K$에서 곱셈에 대한 역원을 가진 원소들을 단위(Unit)라고 하며, 이들은 곱셈군 $U_K$를 형성합니다. 디리클레는 이 군의 구조를 완전히 규명했습니다.
Theorem Structure
$$U_K \cong \mu(K) \times \mathbb{Z}^r$$
여기서 $\mu(K)$는 $K$에 포함된 1의 거듭제곱근들로 이루어진 유한 순환군이며, $r$은 다음과 같이 결정됩니다.
- $r = r_1 + r_2 - 1$
- $r_1$: 실 매장(Real embeddings)의 개수
- $r_2$: 복소 매장(Complex embeddings) 쌍의 개수
3. 주요 예시 및 비교
이차체(Quadratic Fields)의 단위군
- 허 이차체 ($d < 0$): 대부분 $U_K = \{\pm 1\}$로 유한군입니다. (단, $\mathbb{Q}(i)$는 4개, $\mathbb{Q}(\omega)$는 6개)
- 실 이차체 ($d > 0$): $r = 1+0-1 = 1$이므로, $U_K = \{\pm \epsilon^n \mid n \in \mathbb{Z}\}$ 꼴의 무한군이 됩니다. 여기서 $\epsilon$을 기본 단위(Fundamental unit)라고 합니다.
4. 수론적 가치
클래스 군과 단위군은 수체의 가장 중요한 불변량입니다.
- 유수 공식(Class Number Formula): 제타 함수의 $s=1$에서의 잔여값(residue)이 유수, 단위군의 로그(Regulator) 등과 긴밀하게 연결되어 있음을 보여줍니다.
- 디오판토스 방정식: 페르마의 마지막 정리 증명 과정에서 특정 수체의 유수가 지수 $p$를 나누는지 여부가 결정적인 역할을 했습니다.