4.3 클래스 군 & 단위군 실전 예제 10선
아이디얼 클래스 군(Ideal Class Group)의 유한성과 디리클레 단위 정리(Dirichlet Unit Theorem)의 구조적 성질을 구체적인 예제를 통해 증명하고 이해합니다.
Ex 1. 유수 1의 의미
문제: 수체 $K$의 유수 $h_K = 1$일 필요충분조건은 $\mathcal{O}_K$가 주아이디얼 정역(PID)임을 보이시오.
아이디얼 클래스 군 $Cl_K = I_K / P_K$의 크기가 1이라는 것은 모든 분수 아이디얼 $I \in I_K$가 주분수 아이디얼 $P \in P_K$와 같음을 의미한다.
따라서 $\mathcal{O}_K$의 모든 아이디얼은 하나의 원소로 생성되는 주아이디얼이 된다.
Ex 2. 민코프스키 경계 계산
문제: $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-5})$일 때, 모든 아이디얼 클래스가 포함해야 하는 아이디얼의 노름 상한을 구하시오.
민코프스키 상수는 $M_K = \frac{n!}{n^n} (\frac{4}{\pi})^{r_2} \sqrt{|\Delta_K|}$ 이다.
$n=2, r_1=0, r_2=1, \Delta_K = -20$ 이므로, $M_K = \frac{2}{4} \cdot \frac{4}{\pi} \sqrt{20} = \frac{2\sqrt{20}}{\pi} \approx 2.84$.
따라서 노름이 2 이하인 소아이디얼들만 조사하면 클래스 군을 결정할 수 있다.
Ex 3. 허 이차체의 가역원
문제: $d < -3$ 인 허 이차체 $K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$의 단위군은 항상 $\{\pm 1\}$ 임을 보이시오.
단위 $\alpha = a+b\sqrt{d}$의 노름은 $N(\alpha) = a^2 + |d|b^2 = 1$ 이어야 한다 ($a, b \in \mathbb{Z}$ 또는 $\mathbb{Z}+1/2$).
$|d| > 3$ 이면 $b \neq 0$ 일 때 $a^2 + |d|b^2 > 1$ 이 되어 모순이다.
따라서 $b=0, a^2=1$ 이 되어 $\alpha = \pm 1$ 뿐이다.
Ex 4. 실 이차체의 단위군
문제: $K = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$의 단위군 $U_K$의 구조를 기술하시오.
$r_1=2, r_2=0$ 이므로 $r = 2+0-1 = 1$ 이다.
따라서 $U_K \cong \{\pm 1\} \times \mathbb{Z}$ 이다.
노름 $a^2 - 2b^2 = \pm 1$ 의 최소해는 $1+\sqrt{2}$ 이므로, 모든 단위는 $\pm(1+\sqrt{2})^n$ 꼴이다.
Ex 5. 아이디얼 클래스의 곱
문제: $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$에서 $\mathfrak{p} = (2, 1+\sqrt{-5})$ 클래스의 위수(order)가 2임을 보이시오.
앞서 $\mathfrak{p}^2 = (2)$ 임을 보았다. $(2)$는 주아이디얼이므로 클래스 군 내에서 항등원이다.
$\mathfrak{p}$ 자체는 주아이디얼이 아니므로, $\mathfrak{p}$ 클래스의 위수는 정확히 2이다.
Ex 6. 3차체의 단위군 랭크
문제: $f(x) = x^3 - 2$ 의 근으로 생성된 수체 $K = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$의 단위군 랭크 $r$을 구하시오.
근은 $\sqrt[3]{2}$ (실근 1개)와 $\sqrt[3]{2}\omega, \sqrt[3]{2}\omega^2$ (복소근 2개)이다.
$r_1 = 1, r_2 = 1$ 이므로, $r = 1 + 1 - 1 = 1$ 이다.
이 체의 단위군은 실 이차체와 유사한 구조를 가진다.
Ex 7. μ(K)의 결정
문제: $K = \mathbb{Q}(i)$에서 $\mu(K)$를 구하시오.
$K$에 포함된 1의 거듭제곱근은 $x^n - 1 = 0$의 해여야 한다.
$i$ 자체가 $x^4 - 1 = 0$의 근이므로 $\{1, i, -1, -i\}$가 포함된다.
이체는 차수가 2이므로 더 이상의 거듭제곱근을 포함할 수 없다. $\therefore \mu(K) \cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$.
Ex 8. 단위와 펠 방정식
문제: $x^2 - dy^2 = 1$의 정수해가 실 이차체 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$의 단위와 어떤 관계가 있는지 서술하시오.
$x+y\sqrt{d}$는 노름이 1인 $\mathcal{O}_K$의 단위이다.
펠 방정식의 모든 해를 구하는 것은 단위군의 기본 단위를 찾는 것과 동일한 문제이다.
Ex 9. y^2 + 5 = x^3 의 해
문제: $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$의 유수가 2라는 사실이 위 방정식의 정수해 존재성에 주는 영향을 서술하시오.
인수분해 $(y+\sqrt{-5})(y-\sqrt{-5}) = x^3$을 할 때, 만약 유수가 1(PID)이었다면 각 인수가 세제곱수가 되어야 한다.
하지만 유수가 2이므로 아이디얼 수준의 분석이 필요하며, 이는 정수해의 성질을 제한하는 강력한 도구가 된다.
Ex 10. 단위군의 기하학적 부피
문제: 로그 매장(Logarithmic embedding)에서 단위들이 이루는 격자의 부피인 '레귤레이터'의 개념을 설명하시오.
단위군을 유클리드 공간으로 보내면 랭크 $r$인 격자가 된다.
이 격자의 기본 영역의 부피가 레귤레이터 $R_K$이며, 이는 유수 공식에서 수체의 복잡성을 나타내는 중요한 상수가 된다.