5.1 타원곡선 & 모델 정리 실전 예제 10선
타원곡선 위의 점들이 이루는 아벨 군(Abelian Group)의 연산과 유리수점들의 유한 생성 성질을 다루는 모델 정리의 핵심 개념들을 예제를 통해 학습합니다.
Ex 1. 비특이성(Non-singularity) 판별
문제: 곡선 $E: y^2 = x^3 - x$ 가 타원곡선임을 판별식 $\Delta$를 통해 보이시오.
바이어슈트라스 형태 $y^2 = x^3 + ax + b$에서 $a = -1, b = 0$이다.
판별식 $\Delta = -16(4a^3 + 27b^2) = -16(4(-1)^3 + 0) = 64$이다.
$\Delta \neq 0$ 이므로 이 곡선은 특이점이 없는 매끄러운 타원곡선이다.
Ex 2. 두 점의 덧셈
문제: $y^2 = x^3 + 17$ 위의 두 점 $P=(-2, 3), Q=(2, 5)$에 대해 $P+Q$를 구하시오.
기울기 $m = \frac{5-3}{2-(-2)} = \frac{1}{2}$이다.
직선 $y - 3 = \frac{1}{2}(x+2) \implies y = \frac{1}{2}x + 4$를 곡선에 대입한다.
$(\frac{1}{2}x + 4)^2 = x^3 + 17 \implies x^3 - \frac{1}{4}x^2 - 4x + 1 = 0$
세 근의 합 $x_1+x_2+x_3 = \frac{1}{4}$이므로, $-2 + 2 + x_3 = \frac{1}{4} \implies x_3 = \frac{1}{4}$이다.
$y_3 = \frac{1}{2}(\frac{1}{4}) + 4 = \frac{33}{8}$이며, 이를 $x$축 대칭시키면 $P+Q = (\frac{1}{4}, -\frac{33}{8})$이다.
Ex 3. 점의 배가(Doubling)
문제: $y^2 = x^3 + ax + b$ 위의 점 $P=(x_1, y_1)$에서 $2P$의 $x$좌표 공식을 유도하시오.
접선의 기울기 $m = \frac{3x_1^2 + a}{2y_1}$이다.
직선과 곡선의 교점 관계 $x_1 + x_1 + x_{2P} = m^2$을 이용하면,
$x_{2P} = m^2 - 2x_1 = (\frac{3x_1^2 + a}{2y_1})^2 - 2x_1$ 이 성립한다.
Ex 4. 위수 2인 점의 특징
문제: 타원곡선 위에서 $2P = \mathcal{O}$ (위수가 2인 점)인 점 $P$의 기하학적 특징은?
$2P = \mathcal{O} \iff P = -P$이다.
$P=(x, y)$이면 $-P=(x, -y)$이므로, $y = -y \implies y = 0$이어야 한다.
즉, 위수가 2인 점은 곡선이 $x$축과 만나는 점들이다.
Ex 5. 유한 위수 점의 정수성
문제: 정수 계수 타원곡선 $y^2 = x^3 + ax + b$의 유한 위수 점 $P=(x, y)$가 갖는 성질은?
나겔-루츠 정리에 따르면, $P$가 비틀림 점이면 $x, y$는 모두 정수이거나, $y=0$ 또는 $y^2$이 판별식 $\Delta$를 나누어야 한다.
이 정리는 유리수점 중 유한 위수 점을 찾는 강력한 필터가 된다.
Ex 6. $E(\mathbb{Q})$의 분해
문제: 모델 정리에 따른 $E(\mathbb{Q})$의 대수적 구조를 쓰고 각 항의 의미를 설명하시오.
$E(\mathbb{Q}) \cong E(\mathbb{Q})_{\text{tors}} \times \mathbb{Z}^r$
- $E(\mathbb{Q})_{\text{tors}}$: 유한한 위수를 가진 점들의 군 (비틀림 부분군).
- $\mathbb{Z}^r$: 무한한 위수를 가진 독립적인 점들의 자유 아벨 군.
- $r$: 타원곡선의 랭크(Rank).
Ex 7. 가능한 비틀림 군의 크기
문제: $E(\mathbb{Q})_{\text{tors}}$의 가능한 크기(order)의 최대값은?
메이저의 정리에 따르면 $E(\mathbb{Q})_{\text{tors}}$는 오직 15가지 형태만 가능하다.
순환군인 경우 위수는 1~10 또는 12이며, 두 순환군의 곱 형태($\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2k\mathbb{Z}$)인 경우 위수는 최대 16까지 가능하다.
Ex 8. 무한히 많은 해
문제: 타원곡선 $E(\mathbb{Q})$의 랭크 $r > 0$ 이라는 것이 해의 개수에 주는 의미는?
랭크 $r \geq 1$ 이면 무한한 위수를 가진 점이 적어도 하나 존재함을 뜻한다.
따라서 군 연산을 통해 무한히 많은 서로 다른 유리수 해 $(x, y)$를 생성할 수 있다.
Ex 9. 타원곡선과 삼각형
문제: 정수 $n$이 세 변이 유리수인 직각삼각형의 넓이가 될 조건은?
이는 타원곡선 $E_n: y^2 = x^3 - n^2x$ 가 0이 아닌 랭크($r > 0$)를 가질 조건과 동치이다.
이를 합동수 문제라 하며, 타원곡선의 랭크 연구의 기원이 되었다.
Ex 10. 구체적 랭크 사례
문제: $y^2 = x^3 - 2$ 는 랭치 $r=1$인 곡선이다. 점 $P=(3, 5)$를 이용해 새로운 해를 생성하시오.
$P=(3, 5)$는 곡선 위의 점이다 ($5^2 = 3^3 - 2$).
예제 3의 공식을 이용해 $2P$를 계산하면,
$m = \frac{3(3^2)+0}{2(5)} = \frac{27}{10}$
$x_{2P} = (\frac{27}{10})^2 - 2(3) = \frac{729}{100} - 6 = \frac{129}{100}$
새로운 유리수 해 $x = 1.29$를 얻을 수 있으며, $P$가 무한 위수 점이므로 이 과정은 무한히 반복 가능하다.