공통 22문항 · 10단계 디딤돌 해설

³√2×4⁻²ᐟ³의 값을 구합니다. 근호와 분수 지수를 같은 표현으로 바꾸는 것이 첫걸음입니다.

³√2=2¹ᐟ³입니다. 세제곱근은 지수가 1/3인 거듭제곱과 같습니다.

4=2²이므로 4⁻²ᐟ³=(2²)⁻²ᐟ³입니다. 두 인수의 밑을 모두 2로 맞춥니다.

양수 밑에서 (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ이므로 (2²)⁻²ᐟ³=2⁻⁴ᐟ³입니다. 바깥 지수와 안쪽 지수를 곱합니다.

원래 식은 2¹ᐟ³×2⁻⁴ᐟ³입니다. 밑이 같으므로 지수를 더할 수 있습니다.

1/3+(−4/3)=−3/3=−1입니다. 따라서 전체는 2⁻¹입니다.

a⁻¹=1/a이므로 2⁻¹=1/2입니다. 음의 지수는 값이 음수라는 뜻이 아니라 역수라는 뜻입니다.

계산값 1/2에 해당하는 정답은 ②입니다.

4²ᐟ³=(2²)²ᐟ³=2⁴ᐟ³=2×2¹ᐟ³입니다. 따라서 ³√2÷4²ᐟ³=2¹ᐟ³/(2×2¹ᐟ³)=1/2로 같습니다.

밑이 같은 수의 곱에서는 지수를 더하고, 거듭제곱을 다시 거듭제곱할 때는 지수를 곱합니다. 두 법칙을 혼동하지 마세요.

f(x)=x³+3x+2이고 구하는 식은 h→0일 때 {f(1+h)−f(1)}/h의 극한입니다.

x가 1에서 1+h로 변할 때 함수값의 변화량이 f(1+h)−f(1)입니다. 분모 h는 x의 변화량입니다.

f′(a)=limₕ→₀{f(a+h)−f(a)}/h입니다. 문제의 식은 a=1인 경우이므로 f′(1)입니다.

f는 다항함수이므로 모든 실수에서 미분가능합니다. 따라서 미분계수를 도함수에 대입하여 구할 수 있습니다.

x³을 미분하면 3x²입니다. 지수를 앞으로 곱하고 지수를 1 줄입니다.

3x의 도함수는 3이고 상수 2의 도함수는 0입니다. 따라서 f′(x)=3x²+3입니다.

f′(1)=3×1²+3=6입니다. 정답은 ①입니다.

f(1)=6이고 f(1+h)=6+6h+3h²+h³입니다. 따라서 분자는 6h+3h²+h³입니다.

h≠0에서 차분몫은 6+3h+h²이고 h→0이면 6입니다. 도함수로 구한 결과와 같습니다.

분모에 0을 먼저 대입하면 0/0이 됩니다. 먼저 미분계수의 정의를 알아보거나 h를 약분한 다음 극한을 계산하세요.

모든 항이 양수인 등비수열에서 a₁a₂=1/2, a₂a₃=2입니다. 구하는 것은 a₄입니다.

공비를 r라 하면 a₂=a₁r, a₃=a₁r²입니다. 항이 모두 양수이므로 a₁>0이고 r>0입니다.

(a₂a₃)/(a₁a₂)=2/(1/2)=4입니다. 항이 0이 아니므로 공통 인수 a₂를 약분할 수 있습니다.

왼쪽은 a₃/a₁=r²이므로 r²=4입니다. a₃은 첫째항에서 두 번 공비를 곱한 항입니다.

r=±2 중 r>0이므로 r=2입니다. 양수 조건을 쓰지 않고 음의 공비까지 허용하면 안 됩니다.

a₁a₂=a₁²r=1/2입니다. r=2를 넣으면 2a₁²=1/2입니다.

a₁²=1/4이고 a₁>0이므로 a₁=1/2입니다.

a₄=a₁r³=(1/2)×2³=4입니다. 첫째항에서 넷째항까지는 공비를 세 번 곱합니다.

수열의 처음 네 항은 1/2,1,2,4입니다. 첫 두 항의 곱은 1/2이고 둘째·셋째항의 곱은 2로 맞습니다. 정답은 ②입니다.

r²을 얻은 뒤 양의 제곱근을 선택한 이유를 설명할 수 있어야 합니다. “모든 항이 양수”가 공비와 첫째항의 부호를 결정합니다.

x<a에서는 f(x)=x²−3x, x≥a에서는 f(x)=x−4입니다. 실수 전체에서 연속이 되도록 a를 구합니다.

각 조각은 다항식이므로 자기 구간 안에서 연속입니다. 식이 바뀌는 경계 x=a에서만 연결을 확인하면 됩니다.

x=a는 x≥a에 포함되므로 f(a)=a−4입니다. 경계에서 어느 식을 쓰는지 먼저 구별합니다.

x가 a보다 작은 쪽에서 접근하면 x²−3x를 사용하므로 좌극한은 a²−3a입니다.

오른쪽에서는 x−4를 사용하므로 우극한은 a−4입니다. 이 값은 f(a)와 자동으로 같습니다.

좌극한=우극한=함숫값이어야 하므로 a²−3a=a−4입니다.

모든 항을 한쪽으로 옮기면 a²−4a+4=0입니다.

a²−4a+4=(a−2)²이므로 a=2입니다. 정답은 ⑤입니다.

a=2이면 왼쪽 식의 값은 4−6=−2이고 오른쪽 식의 값은 2−4=−2입니다. 두 그래프가 끊김 없이 연결됩니다.

연속 조건은 함수값의 일치입니다. 좌우 도함수까지 같게 놓는 것은 미분가능 조건으로, 이 문제에서는 요구하지 않습니다.

f(x)=(x+1)(x²+3x+1)은 두 함수의 곱입니다. 구하는 것은 x=2에서의 미분계수입니다.

u(x)v(x)를 미분하면 u′v+uv′입니다. 두 인수를 각각 미분한 것끼리만 곱하면 안 됩니다.

u=x+1, v=x²+3x+1로 둡니다. 어느 쪽을 u로 잡아도 결과는 같습니다.

u′=1이고 v′=2x+3입니다. 상수항의 도함수는 0입니다.

f′(x)=1×(x²+3x+1)+(x+1)(2x+3)입니다.

x=2에서 x²+3x+1=4+6+1=11입니다.

x=2에서 (x+1)(2x+3)=3×7=21입니다.

f′(2)=11+21=32이므로 정답은 ④입니다.

f(x)=x³+4x²+4x+1이므로 f′(x)=3x²+8x+4입니다. x=2를 넣으면 12+16+4=32입니다.

u′v와 uv′의 두 항을 모두 썼는지 확인하세요. 원래 함수값 f(2)=33과 도함수 값 f′(2)=32도 구별해야 합니다.

π/2<θ<π이므로 θ는 제2사분면의 각입니다. tan²θ=2이고 cos θ를 구합니다.

tan θ=sin θ/cos θ이므로 tan²θ=sin²θ/cos²θ=2입니다. 이 범위에서 cos θ는 0이 아닙니다.

sin²θ=2cos²θ입니다. 두 제곱값 사이의 비를 얻었습니다.

sin²θ+cos²θ=1이므로 sin²θ를 1−cos²θ로 바꿀 수 있습니다.

1−cos²θ=2cos²θ이므로 1=3cos²θ입니다.

cos²θ=1/3입니다. 아직 cos θ의 부호가 정해진 것은 아닙니다.

제2사분면에서 코사인은 음수이므로 cos θ=−1/√3입니다.

−1/√3=−√3/3이므로 정답은 ①입니다.

sin²θ=2/3이므로 tan²θ=(2/3)/(1/3)=2입니다. 또 제2사분면에서 sin θ>0, cos θ<0이어서 tan θ<0이라는 점도 일치합니다.

제곱한 식으로 크기를 구하고 원래 각의 범위로 부호를 선택합니다. cos²θ=1/3에서 곧바로 양수 1/√3만 택하면 안 됩니다.

두 곡선 y=x²/2+2, y=−x²/4−1과 직선 x=0, x=2로 둘러싸인 넓이를 구합니다. 적분 구간은 [0,2]입니다.

첫 곡선은 항상 2 이상이고 둘째 곡선은 항상 −1 이하입니다. 따라서 첫 곡선이 위에 있습니다.

위 함수에서 아래 함수를 빼면 (x²/2+2)−(−x²/4−1)입니다. 아래 식 전체에 괄호를 씌웁니다.

x² 계수는 1/2+1/4=3/4이고 상수는 2+1=3입니다. 세로 길이는 3x²/4+3입니다.

S=∫₀²(3x²/4+3)dx입니다. 적분 구간에서 이 식은 양수이므로 추가 절댓값 구분이 필요 없습니다.

(3/4)x²의 원시함수는 x³/4입니다. 미분하면 3x²/4로 돌아옵니다.

3의 원시함수는 3x이므로 전체 원시함수는 x³/4+3x입니다.

x=2를 넣으면 8/4+6=8입니다.

x=0에서 원시함수는 0이므로 넓이는 8−0=8입니다. 정답은 ③입니다.

두 그래프의 합이 아니라 “위−아래”를 적분해야 합니다. 아래 곡선이 음수라서 괄호를 풀 때 부호가 모두 바뀌는지 확인하세요.

a>0,a≠1,b>0이고 logₐb=2, log₂a+log₄b=8입니다. 구하는 값은 b/a입니다.

logₐb=2는 b=a²과 같습니다. 로그의 정의를 사용해 미지수 하나를 다른 하나로 나타냅니다.

log₂a+log₄(a²)=8입니다. a>0이므로 로그의 거듭제곱 법칙을 쓸 수 있습니다.

log₄(a²)=2log₄a입니다. 이제 로그의 밑을 2로 통일합니다.

log₄a=log₂a/log₂4=(1/2)log₂a이므로 2log₄a=log₂a입니다.

두 번째 식은 2log₂a=8이므로 log₂a=4입니다.

a=2⁴=16이고 b=a²=256입니다. 두 수 모두 양수이고 a≠1 조건도 맞습니다.

b/a=a²/a=a=16입니다. 따라서 정답은 ④입니다.

log₁₆256=2이고 log₂16+log₄256=4+4=8입니다. 두 조건을 모두 만족합니다.

log₄(a²)를 단순히 2log₂a로 바꾸면 안 됩니다. 밑이 4에서 2로 바뀌면서 1/2이 추가되어 최종적으로 log₂a가 됩니다.

최고차항 계수가 1인 이차함수 f가 limₓ→ₐ f(x)(x−3)/(x−a)²=5를 만족해야 합니다. 분모가 0으로 가는데 극한이 유한하므로 분자도 0으로 가야 합니다.

f는 연속이므로 f(a)(a−3)=0입니다. 따라서 a=3인 경우와 a≠3이면서 f(a)=0인 경우로 나눕니다.

극한식은 limₓ→₃ f(x)/(x−3)=5입니다. 유한한 극한이 존재하려면 f(3)=0이어야 합니다.

최고차항 계수가 1이고 3이 근이므로 f(x)=(x−3)(x−b)로 놓습니다. 약분하면 극한은 3−b입니다.

3−b=5에서 b=−2이고 f(x)=(x−3)(x+2)가 실제로 성립합니다. 따라서 a=3은 가능합니다.

f(a)=0이므로 f(x)=(x−a)(x−c)로 놓습니다. 한 번 약분하면 극한식은 (x−c)(x−3)/(x−a)입니다.

분모가 0이고 극한이 유한하므로 (a−c)(a−3)=0입니다. a≠3이므로 c=a, 즉 f(x)=(x−a)²이어야 합니다.

분모와 약분하면 극한은 limₓ→ₐ(x−3)=a−3입니다. a−3=5이므로 a=8입니다. f(x)=(x−8)²로 실제 조건을 만족합니다.

모든 경우를 다루었으므로 가능한 값은 3,8뿐입니다. 합은 11이고 정답은 ⑤입니다.

f는 고정된 식으로 주어진 것이 아니라 “존재할 수 있는” 이차함수입니다. a=3과 a=8에서 서로 다른 f를 구성해도 됩니다. 분모에 (x−a)²이 있으므로 영점의 겹침을 살피세요.

첫째항이 18인 등차수열의 공차를 d라 두면 aₙ=18+(n−1)d입니다.

a₂+a₉=(18+d)+(18+8d)=36+9d=0입니다. 따라서 d=−4입니다.

첫 k항의 합은 Sₖ=k{2×18+(k−1)d}/2입니다. d=−4를 넣습니다.

Sₖ=k(36−4k+4)/2=−2k²+20k입니다.

|Sₖ|=48은 Sₖ=48 또는 Sₖ=−48과 같습니다. 양수인 경우만 풀면 해를 놓칩니다.

−2k²+20k=48에서 k²−10k+24=0입니다. (k−4)(k−6)=0이므로 k=4,6입니다.

−2k²+20k=−48에서 k²−10k−24=0입니다. (k−12)(k+2)=0이므로 k=12,−2입니다.

k는 항의 개수인 자연수이므로 −2는 제외합니다. 가능한 k는 4,6,12입니다.

4+6+12=22이므로 정답은 ③입니다. S₄=S₆=48이고 S₁₂=−48이라 절댓값은 모두 48입니다.

절댓값을 풀면 부호가 다른 두 방정식이 생깁니다. 해를 구한 뒤 k가 자연수인지 확인하는 마지막 과정도 필수입니다.

점 P는 원점에서 출발하고 v(t)=t²−(a+5)t+8입니다. t=4에서 운동 방향이 바뀌므로 이 시각의 속도는 0입니다.

v(4)=16−4(a+5)+8=0에서 4−4a=0, a=1입니다. 따라서 ㄱ은 참입니다.

v(t)=t²−6t+8=(t−2)(t−4)입니다. 방향은 속도의 부호로 판단합니다.

0≤t<2에서는 v>0, 2<t<4에서는 v<0, t>4에서는 v>0입니다. t=4에서 실제로 부호가 바뀌므로 조건도 맞습니다.

처음 위치가 0이므로 t=3에서 위치는 ∫₀³v(t)dt입니다. 위치를 구할 때는 속도의 부호를 유지합니다.

원시함수를 F(t)=t³/3−3t²+8t라 하면 F(3)−F(0)=9−27+24=6입니다. 따라서 ㄴ도 참입니다.

움직인 거리는 ∫₀⁴|v(t)|dt입니다. 속도가 음수인 [2,4]에서는 −v를 적분해야 합니다.

F(2)=20/3, F(4)=16/3입니다. 첫 구간 거리는 20/3이고 둘째 구간 거리는 −{16/3−20/3}=4/3입니다.

전체 거리는 20/3+4/3=8입니다. ㄷ의 10은 틀리므로 옳은 것은 ㄱ,ㄴ이고 정답은 ②입니다.

∫₀⁴v(t)dt=16/3은 변위이고 거리는 8입니다. 속도 부호가 바뀌는 시각 t=2에서 구간을 나누었는지 확인하세요.

A=(k,aᵏ), B=(k+2,aᵏ⁺²), C=(k,aᵏ⁻²), D=(k+2,aᵏ)입니다. 지수가 x−2인 곡선의 값을 정확히 대입합니다.

A와 D는 y좌표가 같고 x좌표 차이가 2이므로 AD=2입니다. AC=AD에서 AC=2를 얻습니다.

AC+BD=6이고 AC=2이므로 BD=4입니다. a>1이므로 A는 C보다, B는 D보다 위에 있습니다.

AC=aᵏ−aᵏ⁻²이고 BD=aᵏ⁺²−aᵏ입니다. 각 선분은 같은 x좌표에 있는 두 y값의 차이입니다.

AC=aᵏ⁻²(a²−1), BD=aᵏ(a²−1)입니다. a>1이므로 a²−1은 양수이고 0이 아닙니다.

BD/AC=a²=4/2=2입니다. 따라서 a=√2입니다. 양수 조건 때문에 음의 제곱근은 제외합니다.

AC=2에 a²=2를 사용하면 aᵏ⁻²(a²−1)=aᵏ⁻²=2입니다.

a=√2이므로 (√2)ᵏ⁻²=2=(√2)²입니다. 밑이 1보다 크므로 지수가 같아 k−2=2, k=4입니다.

a×k=√2×4=4√2이므로 정답은 ④입니다.

a=√2,k=4이면 A=(4,4),C=(4,2),D=(6,4),B=(6,8)입니다. AC=AD=2,BD=4로 모든 길이 조건을 만족합니다.

f(x)=(f′(x)+2)(f′(x)−2)=(f′(x))²−4이고 f′(0)=1입니다. 먼저 f의 차수를 결정합니다.

상수함수라면 도함수가 0이므로 f′(0)=1을 만족하지 못합니다. 따라서 차수는 1 이상입니다.

일차함수의 도함수는 상수이므로 오른쪽은 상수인데 왼쪽은 일차식입니다. 모든 x에서 같을 수 없으므로 차수는 2 이상입니다.

f의 차수를 n≥2라 하면 f′는 n−1차, (f′)²−4는 2n−2차입니다. 양변의 차수가 같아 n=2n−2, n=2입니다.

f(x)=Ax²+Bx+C, A≠0으로 놓으면 f′(x)=2Ax+B입니다. f′(0)=1에서 B=1입니다.

f′(x)=2Ax+1이므로 (f′)²−4=4A²x²+4Ax−3입니다.

Ax²+x+C=4A²x²+4Ax−3에서 x의 계수를 비교하면 1=4A이므로 A=1/4입니다. 상수항은 C=−3입니다.

f(x)=x²/4+x−3입니다. x² 계수도 4A²=A로 맞는지 확인합니다.

f(4)=16/4+4−3=5이므로 정답은 ③입니다.

차수를 먼저 제한했기 때문에 이차식으로 놓을 수 있습니다. 구한 식은 f′(0)=1이고 (x/2+1)²−4=x²/4+x−3이어서 원래 항등식도 만족합니다.

θ=∠DCB라 두면 cos θ=1/3이고 삼각형의 내각이므로 sin θ>0입니다. 따라서 sin θ=√(1−1/9)=2√2/3입니다.

삼각형 BCD의 외접원 반지름은 3입니다. 사인법칙 BD/sin θ=2×3=6에서 BD=4√2입니다. 이것이 (가)의 p입니다.

원에 내접한 사각형의 마주 보는 두 각의 합은 π입니다. 따라서 ∠BAD=π−θ, cos∠BAD=−1/3입니다.

AD=u>0이라 두면 AB=3u입니다. 삼각형 ABD에 코사인법칙을 적용할 준비가 됩니다.

BD²=(3u)²+u²−2×3u×u×(−1/3)=12u²입니다. BD²=32이므로 u²=8/3, u=2√6/3입니다. 이것이 (나)의 q입니다.

CB=CD=v>0이라 둡니다. 삼각형 BCD에서 끼인각의 코사인은 1/3입니다.

32=v²+v²−2v²/3=(4/3)v²이므로 v²=24, v=2√6입니다. 이것이 (다)의 r입니다.

구하는 것은 사각형의 둘레 자체가 아니라 빈칸 값으로 만든 qr/p입니다. p=4√2,q=2√6/3,r=2√6을 대입합니다.

qr=(2√6/3)×2√6=8이므로 qr/p=8/(4√2)=√2입니다. 정답은 ①입니다.

사인법칙의 2R에서 반지름 3을 두 배 하였는지, 대각의 코사인 부호를 −1/3으로 바꾸었는지 확인하세요. 양수인 변의 길이는 모두 양의 제곱근을 택합니다.

조건 (가)를 정리하면 f′(1)(x−1)+f(1)=f′(4)(x−4)+f(4)입니다. 이는 x=1과 x=4에서의 접선이 같은 직선이라는 뜻입니다. 공통접선을 L(x)=mx+n으로 둡니다.

h(x)=f(x)−L(x)라 하면 h(1)=h′(1)=0, h(4)=h′(4)=0입니다. 따라서 1과 4는 모두 중근이고, h는 최고차항 계수 1의 사차식이므로 h(x)=(x−1)²(x−4)²입니다.

f(x)=(x−1)²(x−4)²+mx+n=x⁴−10x³+33x²+(m−40)x+16+n입니다. 원래 상수항이 0이므로 n=−16이고 a=33입니다. 따라서 f=x⁴−10x³+33x²+bx입니다.

t=0이면 직선은 y=kx+f(0)=kx입니다. 접선이 되는 기울기들의 |k| 최솟값이 0이므로 기울기 0의 접선 y=0이 존재합니다. 그 접점을 α라 하면 f(α)=f′(α)=0입니다.

α=0이면 f′(0)=b=0이어서 f=x²{(x−5)²+8}입니다. 그러면 f(7/2)>0이므로 주어진 음수 조건과 모순입니다. 따라서 α≠0입니다.

f는 x와 (x−α)²으로 나누어지므로 f(x)=x(x−α)²(x−β)로 쓸 수 있습니다. 실수계수 사차식에서 남는 인수는 실수 일차식입니다.

전개한 x³,x² 계수를 비교하면 2α+β=10, α²+2αβ=33입니다. β=10−2α를 대입하면 3α²−20α+33=(3α−11)(α−3)=0입니다.

α=11/3이면 β=8/3이고 x=7/2에서 x>0,x−β>0,제곱항>0이므로 f(7/2)>0입니다. 제외합니다. α=3이면 β=4이고 7/2−4<0이므로 f(7/2)<0으로 맞습니다.

f(x)=x(x−3)²(x−4)이므로 f(5)=5×2²×1=20입니다. 정답은 ④입니다.

구한 함수는 a=33,b=−36이며 공통접선은 y=4x−16입니다. f−(4x−16)=(x−1)²(x−4)²이고 x=3에서 수평접선 y=0도 존재합니다. 두 접선 조건과 부호 조건을 모두 확인할 수 있습니다.

k=1부터 7까지 (aₖ+1)을 더한 값이 30입니다. 구하는 것은 같은 범위에서 3aₖ를 더한 값입니다.

(a₁+1)+(a₂+1)+⋯+(a₇+1)=30입니다. 괄호마다 1이 하나씩 들어 있습니다.

a₁+⋯+a₇과 상수 1들의 합을 분리할 수 있습니다.

1을 7번 더하므로 ∑ₖ₌₁⁷1=7입니다. 상수를 한 번만 더하는 것이 아닙니다.

∑ₖ₌₁⁷(aₖ+1)=∑ₖ₌₁⁷aₖ+7=30입니다.

∑ₖ₌₁⁷aₖ=30−7=23입니다. 각 aₖ를 개별적으로 알 필요는 없습니다.

∑ₖ₌₁⁷3aₖ=3∑ₖ₌₁⁷aₖ입니다. 모든 항이 같은 상수배이므로 분배법칙으로 묶습니다.

3×23=69이므로 답은 69입니다.

3a₁+⋯+3a₇=3(a₁+⋯+a₇)=3×23입니다. 원래 조건에 상수 7을 다시 더하면 30입니다.

합의 범위가 1부터 7까지라 항이 7개입니다. 일반적으로 1부터 n까지 상수 c를 더하면 nc입니다.

F는 f(x)=3x²+4x−1의 한 부정적분이므로 F′(x)=f(x)입니다. F(0)=1을 이용하여 F(2)를 구합니다.

다항식의 합은 항별로 적분할 수 있습니다. ∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C를 사용합니다.

∫3x²dx=x³입니다. 미분하면 3x²로 돌아옵니다.

∫4x dx=2x²입니다. 지수를 1 늘린 뒤 2로 나눕니다.

∫(−1)dx=−x입니다. 상수의 적분도 x에 대한 항이 생깁니다.

F(x)=x³+2x²−x+C입니다. 부정적분이므로 적분상수 C를 포함합니다.

F(0)=C=1이므로 F(x)=x³+2x²−x+1입니다.

F(2)=8+8−2+1=15입니다.

F(2)−F(0)=∫₀²f(x)dx=[x³+2x²−x]₀²=14입니다. F(0)=1을 더하면 F(2)=15입니다.

적분상수를 빠뜨리면 14라고 답하기 쉽습니다. 주어진 F(0)=1은 원시함수의 수직 위치를 결정하는 조건입니다.

f(x)=4sin(x−π/3)+a의 최솟값이 1입니다. 먼저 상수 a를 결정한 뒤 f(π/2)를 구합니다.

모든 실수 u에 대하여 −1≤sin u≤1입니다. x−π/3도 모든 실수값을 가지므로 같은 범위를 그대로 사용합니다.

양수 4를 곱하면 −4≤4sin(x−π/3)≤4입니다. 진폭은 4입니다.

a를 더하면 a−4≤f(x)≤a+4입니다. 따라서 최솟값은 a−4입니다.

a−4=1에서 a=5입니다. 최댓값은 참고로 a+4=9입니다.

f(π/2)=4sin(π/2−π/3)+5입니다.

π/2−π/3=(3π−2π)/6=π/6입니다. 서로 다른 분모를 통분합니다.

sin(π/6)=1/2이므로 f(π/2)=4×(1/2)+5입니다.

2+5=7입니다. 함수의 범위 [1,9] 안에 들어가므로 크기도 타당합니다.

x−π/3은 그래프의 수평이동이므로 최솟값 자체는 바꾸지 않습니다. 최솟값은 진폭 4와 수직이동 a로 결정됩니다.

f(x)=2ax³−3ax²+6은 삼차함수이므로 a≠0입니다. 닫힌구간 [0,2]에서 최댓값 8, 최솟값 −2를 갖습니다.

f′(x)=6ax²−6ax=6ax(x−1)입니다. 구간 안의 극값 후보 x=1과 양 끝 0,2를 비교합니다.

f(0)=6,f(1)=6−a,f(2)=6+4a입니다. a의 부호에 따라 증감과 대소 관계가 바뀝니다.

0<x<1에서는 f′<0,1<x<2에서는 f′>0입니다. 따라서 최솟값은 f(1)=6−a이고 최댓값은 f(2)=6+4a입니다.

6+4a=8에서는 a=1/2, 6−a=−2에서는 a=8입니다. 같은 a가 두 조건을 동시에 만족할 수 없으므로 a>0은 불가능합니다.

0<x<1에서는 f′>0,1<x<2에서는 f′<0입니다. 최댓값은 f(1)=6−a이고, f(2)<f(0)이므로 최솟값은 f(2)=6+4a입니다.

6−a=8에서 a=−2이고 6+4a=−2에서도 a=−2입니다. 두 조건을 동시에 만족합니다.

f(x)=−4x³+6x²+6입니다. a는 8이 아니라 −2라는 점을 확인하세요.

f(−2)=−4×(−8)+6×4+6=32+24+6=62입니다.

f(0)=6,f(1)=8,f(2)=−2로 주어진 최댓값·최솟값이 맞습니다. 한쪽 극값 조건으로 얻은 a=8만 선택하면 다른 조건을 어기므로 반드시 두 조건을 함께 확인합니다.

f(x)=√3 aˣ의 역함수는 g(x)=logₐ(x/√3)입니다. 두 그래프는 y=x에 대하여 대칭입니다. A,D는 y=−x−2/3 위에, B,C는 y=−x+2/3 위에 있습니다.

삼각형 CBA와 BAD가 이 순서로 닮으므로 ∠ABC=∠DAB입니다. BC∥AD이고 두 각은 보각이므로 합이 π입니다. 따라서 두 각은 각각 π/2이고 AB는 기울기 −1인 두 직선에 수직입니다.

두 평행선에 수직인 AB의 기울기는 1입니다. A의 y좌표를 k>0이라 두면 A=(−k−2/3,k)입니다. 지수함수의 값이 양수이므로 k>0입니다.

A에서 기울기 1로 위쪽 직선까지 이동하면 x,y가 각각 2/3씩 증가합니다. 따라서 B=(−k,k+2/3)이고 AB=2√2/3입니다.

직선 x+y=2/3은 y=x 대칭 후에도 같은 직선입니다. 따라서 지수함수 위 B의 대칭점이 로그함수와 이 직선의 교점 C=(k+2/3,−k)입니다. 로그함수가 증가하고 직선이 감소하므로 교점은 하나입니다.

D=(−2/3,0)이므로 AD=√2 k입니다. B,C의 좌표 차이로 BC=√2(2k+2/3)입니다.

CBA↔BAD의 대응은 CB↔BA,BA↔AD입니다. 따라서 AB/BC=AD/AB, 즉 AB²=AD×BC입니다. (2√2/3)²=(√2 k)×√2(2k+2/3)입니다.

8/9=4k²+4k/3에서 9k²+3k−2=(3k−1)(3k+2)=0입니다. k>0이므로 k=1/3입니다.

A=(−1,1/3)이므로 1/3=√3 a⁻¹입니다. 따라서 a=3√3이고 a²=27입니다.

k=1/3이면 AB=2√2/3,AD=√2/3,BC=4√2/3이어서 AB²=AD×BC가 성립합니다. 닮음의 꼭짓점 순서를 무시하고 변의 비를 반대로 세우지 않도록 주의하세요.

최고차항 계수 1인 삼차함수이므로 f′의 최고차항 계수는 3입니다. x=2에서 극소이므로 f′(x)=3(x−α)(x−2)인 α<2가 존재합니다. f(2)=5/2입니다.

α≤0이면 [0,2]에서 f는 감소하고 [2,t]에서 증가합니다. 따라서 ∫₀ᵗ|f′|dx=f(0)−f(2)+f(t)−f(2)=f(t)+f(0)−5입니다.

문제의 식은 같은 적분이 f(t)+f(0)이라고 했습니다. 앞 식과 5만큼 차이가 나므로 α≤0은 불가능합니다. 따라서 0<α<2입니다.

[0,α]에서는 증가,[α,2]에서는 감소,[2,t]에서는 증가합니다. 따라서 적분은 {f(α)−f(0)}+{f(α)−f(2)}+{f(t)−f(2)}입니다.

이를 f(t)+f(0)과 같게 놓으면 −f(0)+2f(α)−2f(2)=f(0)입니다. 따라서 f(α)−f(2)=f(0)입니다.

f′=3x²−3(α+2)x+6α이므로 f(x)=x³−(3/2)(α+2)x²+6αx+C이며 C=f(0)입니다.

x=α를 넣으면 f(α)=−α³/2+3α²+C입니다. f(α)−5/2=C에서 α³−6α²+5=0을 얻습니다. 적분상수 C가 소거됩니다.

α³−6α²+5=(α−1)(α²−5α−5)입니다. 근은 1,(5−√45)/2,(5+√45)/2이고 0<α<2에 해당하는 것은 α=1뿐입니다.

f(x)=x³−(9/2)x²+6x+C이므로 f(2)=2+C=5/2에서 C=1/2입니다. f(0)=q/p=1/2이므로 p+q=2+1=3입니다.

f(1)=3,f(2)=5/2,f(0)=1/2이므로 f(1)−f(2)=f(0)입니다. 절댓값 적분을 0→1의 증가량,1→2의 감소량,2→t의 증가량으로 합하면 원래 등식이 확인됩니다.

aₙ이 홀수면 aₙ₊₁=(aₙ+1)/2+n, 짝수면 aₙ₊₁=aₙ+n입니다. a₃=a₆ 조건을 이용해 a₃을 먼저 찾고, a₂,a₁을 거꾸로 구합니다. n은 단계마다 3,4,5로 달라집니다.

a₃=u가 짝수면 a₄=u+3은 홀수이고 a₅=(u+4)/2+4=u/2+6입니다. a₅의 홀짝에 따라 a₆을 다시 나눕니다.

a₅가 홀수면 a₆=u/4+17/2이고 u=a₆에서 u=34/3으로 자연수가 아닙니다. a₅가 짝수면 a₆=u/2+11이고 u=22인데 이때 a₅=17은 홀수여서 모순입니다. 따라서 a₃은 홀수입니다.

홀수 a₃은 8k−7,8k−5,8k−3,8k−1(k는 자연수) 중 하나입니다. 세 번의 점화식에서 절반으로 나누는 연산이 생기므로 8을 기준으로 나누면 중간 항들의 홀짝이 확정됩니다.

8k−7이면 (a₄,a₅,a₆)=(4k,4k+4,4k+9)입니다. a₃=a₆에서 k=4,a₃=25입니다. 8k−5이면 (4k+1,2k+5,k+8)이고 8k−5=k+8에서 k=13/7이므로 제외합니다.

8k−3이면 (a₄,a₅,a₆)=(4k+2,4k+6,4k+11)이고 k=7/2라 제외합니다. 8k−1이면 (4k+3,2k+6,2k+11)이고 8k−1=2k+11에서 k=2,a₃=15입니다.

n=2에서 a₂가 짝수라면 a₂+2=25로 a₂=23이 되어 모순입니다. 홀수라면 (a₂+1)/2+2=25에서 a₂=45입니다. n=1에서 홀수 a₁은 (a₁+1)/2+1=45로 87, 짝수 a₁은 a₁+1=45로 44입니다.

짝수 a₂라면 a₂=13이 되어 모순이고, 홀수 a₂라면 (a₂+1)/2+2=15에서 a₂=25입니다. n=1에서 홀수 a₁은 47, 짝수 a₁은 24입니다. 각 값이 가정한 홀짝과 맞습니다.

a₁=87,44는 각각 a₂=45를 거쳐 25→16→20→25가 됩니다. a₁=47,24는 a₂=25를 거쳐 15→11→10→15가 됩니다. 네 경우 모두 a₃=a₆입니다.

모든 경우에서 얻은 서로 다른 첫째항은 87,44,47,24입니다. 합은 87+44+47+24=202입니다. 역산한 값이 가정한 홀짝과 일치하는지 확인해야 가짜 후보를 제외할 수 있습니다.