확통 8문항 · 10단계 디딤돌 해설

(2x²+1/2)⁶ 전체를 전개하지 않고 x⁸ 앞에 붙는 수, 즉 계수만 구합니다. 계수와 항 전체 60x⁸을 구별하세요.

거듭제곱 6은 같은 괄호를 6개 곱한다는 뜻입니다. 각 괄호에서 2x² 또는 1/2 중 하나씩 선택하여 곱하면 전개식의 항이 만들어집니다.

2x²을 r번 고르면 x의 지수는 2r입니다. 나머지 6−r개의 괄호에서는 상수 1/2을 고르므로 x의 지수가 더 커지지 않습니다.

원하는 지수가 8이므로 2r=8, 따라서 r=4입니다. 즉 2x²을 4번, 1/2을 2번 골라야 합니다.

6개 괄호 중 2x²을 고를 4개의 위치를 정하는 방법은 C(6,4)입니다. 같은 결과를 만드는 선택이 여러 개이므로 이 수를 반드시 곱합니다.

x⁸을 만드는 항들을 합치면 C(6,4)×(2x²)⁴×(1/2)²입니다. 이항정리의 일반항에서 필요한 항 하나를 고른 것입니다.

C(6,4)=C(6,2)=6×5/(2×1)=15입니다. 4개의 위치를 고르는 것은 남길 2개의 위치를 고르는 것과 같습니다.

2⁴×(1/2)²=16×1/4=4입니다. (2x²)⁴에서는 2에도 네제곱이 적용된다는 점을 확인합니다.

해당 항은 15×4×x⁸=60x⁸입니다. 따라서 x⁸의 계수는 60이고 정답은 ③입니다.

왜 C(6,8)이 아닐까요? 8은 x의 지수이고, 선택하는 괄호 수는 4이기 때문입니다. 핵심은 “지수 맞추기 → 선택 위치 세기 → 숫자 계수 곱하기”입니다.

X는 이항분포 B(n,p)를 따르고 E(X)=5, V(X)=4입니다. 구하는 것은 시행 횟수 n입니다.

각 시행의 성공확률이 p로 일정하고 서로 독립인 시행을 n번 할 때 성공 횟수가 X입니다. n은 자연수이고 0≤p≤1입니다.

이항분포의 평균은 E(X)=np입니다. 주어진 평균을 대입하면 np=5라는 첫 번째 식을 얻습니다.

이항분포의 분산은 V(X)=np(1−p)입니다. 따라서 np(1−p)=4라는 두 번째 식을 얻습니다.

두 식 모두 np를 포함합니다. np=5를 분산 식에 넣으면 5(1−p)=4가 되어 미지수가 p 하나만 남습니다.

5(1−p)=4의 양변을 5로 나누면 1−p=4/5입니다. 이 값은 실패확률입니다.

p=1−4/5=1/5입니다. 구한 값이 0과 1 사이이므로 확률의 범위에도 맞습니다.

np=5에 p=1/5을 대입하면 n/5=5입니다. 따라서 n=25입니다.

평균은 25×1/5=5, 분산은 25×1/5×4/5=4입니다. 두 조건을 모두 만족하므로 정답은 ①입니다.

V(X)/E(X)=1−p이므로 4/5=1−p로 바로 시작해도 됩니다. 단, 분산 4를 표준편차 4로 잘못 읽으면 안 됩니다.

a,b,c,d는 모두 음이 아닌 정수이고 a+b+c+d³=8입니다. 0도 허용되며 (a,b,c,d)의 순서가 다르면 다른 순서쌍으로 셉니다.

a+b+c≥0이므로 d³≤8입니다. d≥0인 정수이므로 가능한 d는 0,1,2뿐입니다. d=3부터는 d³가 8보다 커집니다.

d가 정해지면 a+b+c=8−d³이 됩니다. 이제 세 음이 아닌 정수의 합이 정해진 문제로 바뀝니다.

a+b+c=s의 해는 별 s개를 막대 2개로 세 구역으로 나누는 방법과 같습니다. 구역이 비어도 되므로 0도 포함되고, 해의 개수는 C(s+2,2)입니다.

d³=0이므로 a+b+c=8입니다. 해의 개수는 C(10,2)=10×9/2=45입니다.

d³=1이므로 a+b+c=7입니다. 해의 개수는 C(9,2)=9×8/2=36입니다.

d³=8이므로 a+b+c=0입니다. 음이 아닌 세 정수의 합이 0이려면 a=b=c=0뿐이므로 1개입니다. C(2,2)=1로 계산해도 같습니다.

d=0,1,2인 경우는 서로 겹치지 않습니다. 또 가능한 d를 전부 다루었으므로 세 경우를 더하면 전체 개수가 됩니다.

45+36+1=82입니다. 따라서 조건을 만족하는 (a,b,c,d)의 개수는 82이고 정답은 ②입니다.

a+b+c+d=8로 보고 C(11,3)을 쓰면 안 됩니다. 실제로 들어간 항은 d가 아니라 d³입니다. d=2일 때 남는 합이 6이 아니라 0인지 확인하세요.

표본 크기 n=196, 표본평균 x̄=2a+80, 95% 신뢰구간은 a+82≤m≤a+84입니다. 구하는 값은 aσ입니다.

문제에서 정한 95% 신뢰구간은 x̄−1.96σ/√n≤m≤x̄+1.96σ/√n입니다. 중심은 x̄, 중심에서 한쪽 끝까지의 거리는 1.96σ/√n입니다.

주어진 구간의 중심은 {(a+82)+(a+84)}/2=a+83입니다. 양 끝의 평균을 구하면 폭에 관한 항이 사라집니다.

신뢰구간의 중심이 표본평균이므로 2a+80=a+83입니다. 따라서 a=3입니다.

a=3이면 x̄=86이고 구간은 85≤m≤87입니다. 두 끝 85,87의 가운데가 86이므로 일치합니다.

구간 전체 길이는 (a+84)−(a+82)=2입니다. 공식의 1.96σ/√n은 전체 길이가 아니라 그 절반이므로 1입니다.

√196=14이므로 1.96σ/14=1입니다. 분모에 196을 그대로 쓰지 않도록 주의합니다.

σ=14/1.96=14÷(49/25)=350/49=50/7입니다. 표준편차이므로 양수라는 조건도 만족합니다.

aσ=3×50/7=150/7입니다. 따라서 정답은 ④입니다.

전체 폭으로 계산하면 2=2×1.96×σ/14입니다. 이 식으로도 σ=50/7이 나옵니다. “중심으로 a, 반폭으로 σ”를 구하는 순서를 기억하세요.

두 주사위 눈의 곱이 홀수이면 공 1개, 짝수이면 공 2개를 넣습니다. 네 번 후 공의 개수가 5 이하일 확률을 구합니다.

두 정수의 곱이 홀수가 되려면 두 수가 모두 홀수여야 합니다. 주사위의 홀수 눈은 1,3,5의 세 가지입니다.

홀수 곱을 성공 A라고 하면 P(A)=(3/6)×(3/6)=1/4입니다. 곱이 짝수일 확률은 1−1/4=3/4입니다.

네 번 중 홀수 곱이 나온 횟수를 T라 하면 T는 B(4,1/4)를 따릅니다. 주사위 시행은 서로 독립입니다.

홀수 곱 T번에서 T개, 짝수 곱 4−T번에서 2(4−T)개를 넣습니다. 따라서 총 공의 개수는 T+2(4−T)=8−T입니다.

8−T≤5에서 T≥3입니다. 가능한 성공 횟수는 3 또는 4입니다. 각각 공이 5개 또는 4개가 됩니다.

P(T=3)=C(4,3)(1/4)³(3/4)=4×1/64×3/4=12/256입니다. 실패 한 번의 위치가 네 가지라서 조합을 곱합니다.

P(T=4)=C(4,4)(1/4)⁴=1/256입니다. 이때는 네 번 모두 홀수 곱입니다.

P(T≥3)=12/256+1/256=13/256입니다. 따라서 정답은 ⑤입니다.

주머니에는 최대 8개가 들어가며 처음에는 비어 있습니다. “8개의 공”은 넣을 수 있는 공의 재고이지 처음 주머니 안의 공이 아닙니다. 조합 C(4,3)을 빼먹지 않았는지도 확인하세요.

숫자 1,2,3,4가 각각 두 장씩 있습니다. 6장을 골라 여섯 자리에 놓되 같은 숫자 카드끼리는 구별하지 않습니다. 첫 자리의 수는 짝수여야 합니다.

첫 수는 2 또는 4입니다. 숫자 2와 4를 서로 바꾸면 두 경우가 일대일로 대응하므로, 첫 수가 2인 경우를 센 뒤 두 배 하면 됩니다.

남은 다섯 자리에 사용할 수 있는 수량의 상한은 1은 두 장, 2는 한 장, 3은 두 장, 4는 두 장입니다. 첫 자리에서 2를 한 장 이미 썼기 때문입니다.

다섯 자리를 네 종류의 수로 채우되 각 수는 최대 두 번 쓰므로 가능한 출현 횟수는 (2,1,1,1) 또는 (2,2,1)뿐입니다. 모두 한 번씩이면 최대 네 자리이고, 세 번 이상 같은 수를 쓰는 것은 불가능합니다.

남은 다섯 수가 a,a,b,c,d인 경우입니다. a는 2가 될 수 없으므로 1,3,4 중 하나를 고르는 3가지입니다. 나머지 세 수는 a 이외의 세 종류로 자동 결정됩니다.

고른 다섯 수를 놓는 방법은 5!/2!=60입니다. a끼리의 자리 교환은 같은 배열이므로 2!로 나눕니다. 따라서 3×60=180가지입니다.

남은 다섯 수가 a,a,b,b,c인 경우입니다. a,b는 1,3,4 중 서로 다른 두 수이므로 C(3,2)=3가지입니다. c는 이 둘 이외의 두 수 중 하나이므로 2가지입니다.

각 선택에 대한 배열은 5!/(2!2!)=30가지입니다. 따라서 3×2×30=180가지입니다. a,b의 순서는 의미 없으므로 C(3,2)를 사용합니다.

첫 수가 2일 때 180+180=360가지입니다. 첫 수가 4일 때도 360가지이므로 전체는 2×360=720가지, 정답은 ③입니다.

첫 자리의 2를 고르는 데 “두 장 중 한 장”이라는 2를 곱하면 안 됩니다. 같은 숫자 카드는 구별하지 않습니다. 또한 6장을 먼저 고르는 조합을 별도로 곱하면 같은 숫자 배열을 중복해서 셀 수 있습니다.

X∼N(m₁,10²), Y∼N(m₂,10²)입니다. 두 표준편차는 모두 10입니다. 제시된 표로 k=P(Y≥20)을 구한 다음 1000k를 계산합니다.

정규분포의 밀도함수는 평균에서 최댓값을 갖습니다. 모든 x에서 f(x)≤f(4)이므로 m₁=4입니다.

두 분포의 표준편차가 같으므로 평균에서 같은 거리만큼 떨어진 지점의 밀도 높이가 같습니다. f(5)=g(15)에서 |5−4|=|15−m₂|=1이므로 m₂=14 또는 16입니다.

X는 4를 중심으로 대칭입니다. 구간 [1,2]를 반사하면 [6,7]이므로 P(1≤X≤2)=P(6≤X≤7)입니다. 여기에 P(7≤X≤9)를 더하면 P(6≤X≤9)가 됩니다. 연속분포에서 끝점 하나의 확률은 0입니다.

Z=(X−4)/10으로 두면 P(6≤X≤9)=P(0.2≤Z≤0.5)입니다. 표의 값을 빼서 0.191−0.079=0.112를 얻습니다.

Y의 평균이 14이면 P(11≤Y≤14)=P(−0.3≤Z≤0)=P(0≤Z≤0.3)=0.118입니다. 필요한 0.112와 다르므로 제외합니다.

Y의 평균이 16이면 P(11≤Y≤14)=P(−0.5≤Z≤−0.2)=P(0.2≤Z≤0.5)=0.112입니다. 조건을 만족하므로 m₂=16입니다.

이제 P(Y≥20)=P(Z≥(20−16)/10)=P(Z≥0.4)입니다. 평균보다 오른쪽 확률을 구하므로 0.5에서 가운데 면적을 뺍니다.

표에서 P(0≤Z≤0.4)=0.155이므로 k=0.5−0.155=0.345입니다. 따라서 1000k=345입니다. 문제에서 준 표의 반올림 값을 기준으로 계산한 답입니다.

10²는 분산이고 표준화할 때 나누는 수는 표준편차 10입니다. 또 f(5)=g(15)는 두 “밀도 높이”가 같다는 뜻이지, 구간 확률이 바로 같다는 뜻은 아닙니다.

A에는 1인 공 3개와 2인 공 2개, B에는 1인 공 4개와 2인 공 1개가 있습니다. 매 시행 두 주머니에서 하나씩 꺼내며 다시 넣지 않습니다. 두 번째에는 각 주머니에 공이 4개씩 남아 있습니다.

X={a₁=a₂=1}, Y={두 번째 시행 후 B에 1인 공이 3개 남음}으로 놓습니다. 요구한 확률은 P(Y|X)=P(X∩Y)/P(X)입니다. 여기서 aₙ은 두 수 중 작거나 같은 수, 즉 최솟값입니다.

n번째 A,B에서 나온 수를 xₙ,yₙ이라 하겠습니다. aₙ=1이려면 (xₙ,yₙ)이 (1,1),(1,2),(2,1) 중 하나여야 합니다. 즉 B에서 1이 나오면 A는 무엇이든 되고, B에서 2가 나오면 A는 반드시 1이어야 합니다.

B에는 2가 하나뿐이므로 두 번 모두 2가 나오는 경로는 불가능합니다. 가능한 (y₁,y₂)는 (1,1),(1,2),(2,1) 세 가지입니다. 각 경로 안에서 X가 성립할 확률을 계산합니다.

B의 경로 확률은 (4/5)×(3/4)=3/5입니다. 이때 A의 결과와 관계없이 두 번의 최솟값이 모두 1이므로 P(X와 경로 Ⅰ)=3/5입니다. B에 남은 1은 2개라서 Y는 성립하지 않습니다.

B 경로 확률은 (4/5)×(1/4)=1/5입니다. X를 위해 A의 두 번째 공이 1이어야 합니다. 그 확률은 (3/5)(2/4)+(2/5)(3/4)=3/5입니다. 첫 공이 1인지 2인지로 나눈 식입니다. 따라서 이 경로의 X 확률은 (1/5)(3/5)=3/25입니다.

B 경로 확률은 (1/5)×(4/4)=1/5입니다. X를 위해 A의 첫 공이 1이어야 하고 그 확률은 3/5입니다. 두 번째 A 공에는 제한이 없으므로 이 경로의 X 확률도 (1/5)(3/5)=3/25입니다.

세 경로는 서로 겹치지 않으므로 P(X)=3/5+3/25+3/25=21/25입니다. 이 값이 조건부확률의 분모입니다. 두 번째 시행을 분모 5로 계속 계산하지 않았는지 확인합니다.

B에 1이 3개 남으려면 처음의 4개 중 정확히 하나만 뽑아야 합니다. 따라서 경로 Ⅱ,Ⅲ만 Y를 만족하여 P(X∩Y)=3/25+3/25=6/25입니다. P(Y|X)=(6/25)/(21/25)=2/7입니다.

확률은 q/p=2/7이고 서로소인 자연수 p=7,q=2이므로 p+q=9입니다. P(Y)=2/5를 그대로 답하면 안 됩니다. 이미 X가 일어났다는 조건 아래의 확률을 물었기 때문에 교집합을 P(X)로 나누어야 합니다.