미적분 8문항 · 10단계 디딤돌 해설

x→0일 때 ln(1+5x²)/(2x²)의 극한을 구합니다. x=0을 바로 넣으면 분자와 분모가 모두 0이 되므로, 단순 대입으로는 값을 결정할 수 없습니다.

자연로그의 기본 극한은 u→0일 때 ln(1+u)/u→1입니다. 로그 안의 1 뒤에 있는 식과 분모의 식이 같아야 이 공식을 바로 쓸 수 있습니다.

u=5x²으로 생각합니다. x→0이면 u→0이고, x≠0에서는 u>0이므로 오른쪽에서 0으로 다가갑니다. 기본 극한은 이 경우에도 성립합니다.

분자에는 ln(1+5x²)이 있으므로 표준형에 필요한 분모는 5x²입니다. 원래 분모는 2x²이므로 이를 맞추는 상수 보정이 필요합니다.

ln(1+5x²)/(2x²)=(5/2)×{ln(1+5x²)/(5x²)}입니다. 오른쪽에서 5가 약분되면 원래 식이 되는지 확인하세요.

중괄호 부분은 u=5x²으로 놓았을 때 ln(1+u)/u이므로 극한값이 1입니다. x의 제곱 때문에 이 값이 0이 되는 것은 아닙니다.

상수 5/2는 극한 밖으로 꺼낼 수 있습니다. 따라서 전체 극한은 (5/2)×1입니다.

극한값은 5/2이므로 정답은 ⑤입니다. 문제에서 묻는 것은 극한값이지 x=0에서의 원래 식의 함숫값이 아닙니다.

u가 0에 가까울 때 ln(1+u)는 u와 비슷합니다. 따라서 분자는 약 5x², 분모는 2x²이므로 비율이 5/2에 가까워진다고 이해할 수 있습니다. 이 설명은 앞의 극한 계산을 뒷받침합니다.

로그 안의 계수 5와 분모의 계수 2를 모두 반영했는지 확인하세요. ln(1+5x²)/(5x²) 부분이 1이고, 남는 상수가 5/2라는 구조가 핵심입니다.

구하는 값은 1부터 2까지 (x+1)/x²를 적분한 값입니다. 적분 구간에서 x>0이므로 로그를 사용할 때 정의역 문제는 없습니다.

(x+1)/x²=x/x²+1/x²=1/x+1/x²입니다. 복잡한 분수 하나를 기본 적분이 가능한 두 항으로 나눕니다.

1/x²=x⁻²이므로 적분식은 ∫₁²(x⁻¹+x⁻²)dx가 됩니다. 다만 지수 −1인 항은 일반 거듭제곱 적분 공식에서 예외입니다.

1/x의 원시함수는 ln|x|입니다. 이 구간에서는 x가 양수이므로 ln x로 쓸 수 있습니다.

x⁻²의 원시함수는 x⁻¹/(−1)=−1/x입니다. −1/x를 미분하면 +1/x²가 되는지 확인합니다.

전체 원시함수는 F(x)=ln x−1/x입니다. 정적분에서는 적분상수가 상쇄되므로 따로 적지 않아도 됩니다.

F(2)=ln 2−1/2입니다. 위 끝값만 계산한 결과가 최종 정적분 값은 아닙니다.

F(1)=ln 1−1=−1입니다. 따라서 F(2)−F(1)=ln 2−1/2−(−1)입니다.

−1/2+1=1/2이므로 정적분은 ln 2+1/2입니다. 정답은 ①입니다.

가장 흔한 실수는 아래 끝값 −1을 뺄 때 부호를 틀리는 것입니다. 또 1/x를 지수 −1의 거듭제곱 공식으로 적분하여 0으로 나누면 안 됩니다.

k>0이고 모든 자연수 n에 대해 (kaₙ−n²)²<n²입니다. 또 aₙ/(4n²+1)의 극한이 k라는 조건을 이용하여 k를 결정합니다.

n>0이므로 (kaₙ−n²)²<n²는 |kaₙ−n²|<n과 같습니다. 따라서 −n<kaₙ−n²<n입니다.

세 부분에 n²을 더하면 n²−n<kaₙ<n²+n입니다. aₙ을 가운데에 두는 부등식의 틀을 만들었습니다.

k>0이므로 부등호 방향을 유지하며 나눌 수 있습니다. (n²−n)/k<aₙ<(n²+n)/k입니다.

4n²+1>0이므로 (n²−n)/{k(4n²+1)}<aₙ/(4n²+1)<(n²+n)/{k(4n²+1)}입니다. 구하려는 극한 식이 가운데에 들어갑니다.

양 끝 분자와 분모를 n²으로 나누면 (1∓1/n)/{k(4+1/n²)}입니다. 1/n과 1/n²이 0으로 가므로 두 끝 모두 1/(4k)로 수렴합니다.

양 끝이 같은 값 1/(4k)로 수렴하므로 가운데 aₙ/(4n²+1)도 1/(4k)로 수렴합니다. 엄격한 부등호여도 이 결론은 같습니다.

문제에서 같은 극한이 k라고 했으므로 k=1/(4k)입니다. k>0이어서 양변에 4k를 곱할 수 있고, 4k²=1을 얻습니다.

k²=1/4에서 k=±1/2이지만 k>0이므로 k=1/2입니다. 따라서 정답은 ②입니다.

aₙ/n²의 극한은 1/k이지만, 문제의 분모는 4n²+1입니다. 앞의 계수 4를 놓치면 안 됩니다. 마지막에 양수 조건으로 음의 해를 제외했는지도 확인하세요.

x축에 수직으로 자른 단면의 넓이를 S(x)라 하면 부피는 ∫₁ᵉ S(x)dx입니다. 먼저 한 단면의 모양과 크기를 구합니다.

x=t에서 밑면의 세로 길이는 곡선 높이 √{1+(ln t)²}입니다. 그림에서 이 선분이 반원 단면의 지름이므로 d=√{1+(ln t)²}입니다.

반지름은 지름의 절반이므로 r=√{1+(ln t)²}/2입니다. 곡선의 높이를 반지름으로 바로 사용하면 넓이가 네 배가 됩니다.

S(t)=(1/2)πr²=(π/8){1+(ln t)²}입니다. 반원이라는 사실로 1/2, 지름을 반지름으로 바꾸는 과정으로 1/4이 곱해져 1/8이 됩니다.

V=(π/8)∫₁ᵉ{1+(ln x)²}dx입니다. 단면 넓이를 누적한 것이 부피이며, 회전체의 원판 넓이 πy²을 쓰는 문제는 아닙니다.

I=∫(ln x)²dx에서 u=(ln x)², dv=dx로 놓으면 du=2ln x/x dx, v=x입니다. 따라서 I=x(ln x)²−2∫ln x dx입니다.

∫ln x dx=x ln x−x이므로 I=x(ln x)²−2x ln x+2x입니다. 여기에 ∫1 dx=x를 합치면 원시함수는 x(ln x)²−2x ln x+3x입니다.

ln e=1이므로 e×1²−2e×1+3e=2e입니다. 원시함수의 세 항을 모두 대입합니다.

ln 1=0이므로 아래 끝값은 3입니다. 따라서 V=(π/8)(2e−3)이며 정답은 ③입니다.

원시함수를 미분하면 (ln x)²+2ln x−2ln x−2+3=1+(ln x)²가 됩니다. 단면적의 1/8과 아래 끝값 3을 모두 확인하세요.

x<b에서는 f(x)=e²ˣ−2, x≥b에서는 f(x)=2eˣ−8e⁻ˣ+a입니다. 실수 전체에서 미분가능하므로 연결점 b에서 연속이고 양쪽 미분계수도 같습니다.

b에서 두 식의 값이 같아야 하므로 e²ᵇ−2=2eᵇ−8e⁻ᵇ+a입니다. 이것을 나중에 a를 구할 식으로 남겨 둡니다.

왼쪽 도함수는 2e²ˣ, 오른쪽 도함수는 2eˣ+8e⁻ˣ입니다. 따라서 2e²ᵇ=2eᵇ+8e⁻ᵇ입니다. −8e⁻ˣ를 미분하면 +8e⁻ˣ인 점에 주의합니다.

u=eᵇ>0으로 놓고 미분계수 식의 양변에 u/2를 곱하면 u³=u²+4입니다. u³−u²−4=(u−2)(u²+u+2)=0입니다.

u²+u+2=(u+1/2)²+7/4>0이므로 u=2, b=ln 2입니다. 연속 식은 4−2=4−4+a가 되어 a=2입니다.

g가 f의 역함수이면 g′(8)=1/f′(g(8))입니다. 따라서 먼저 f(α)=8인 α=g(8)을 찾아야 합니다. 8을 f′에 바로 넣는 것이 아닙니다.

각 조각의 도함수는 양수이고 연결점에서도 이어지므로 f는 전체에서 증가합니다. f(ln 2)=2<8이므로 α>ln 2이며 오른쪽 조각을 사용합니다.

2eᵅ−8e⁻ᵅ+2=8에서 v=eᵅ>0으로 놓으면 2v−8/v=6입니다. v²−3v−4=(v−4)(v+1)=0이므로 v=4, α=ln 4입니다.

f′(ln 4)=2×4+8×(1/4)=10입니다. 따라서 g′(8)=1/10이고 정답은 ④입니다.

연속 조건은 a를, 미분계수 조건은 b를 구하는 데 쓰였습니다. f(g(8))=8을 확인하고 도함수의 역수를 취하세요. 역함수의 미분계수는 1/f′(8)이 아닙니다.

f(x)=x tan x−ln(sec x)이고 접점의 x좌표는 s입니다. 접선의 기울기가 s/t가 되도록 s가 t에 따라 정해집니다. g(t)는 이 접선의 y절편입니다.

곱의 미분법으로 (x tan x)′=tan x+x sec²x이고 {ln(sec x)}′=tan x입니다. 두 tan x가 지워져 f′(x)=x sec²x입니다.

접선의 기울기는 f′(s)=s sec²s입니다. 문제 조건에 의해 s sec²s=s/t이고, 0<s<π/2이므로 s로 나누어 t=cos²s를 얻습니다.

t=cos²s를 t에 대해 미분하면 1=−2sin s cos s·ds/dt입니다. 따라서 ds/dt=−1/(2sin s cos s)입니다.

접선은 y=f′(s)(x−s)+f(s)입니다. x=0을 넣으면 y절편은 g(t)=f(s)−s f′(s)입니다. 오른쪽의 s는 t에 종속된 변수입니다.

연쇄법칙과 곱의 미분법을 적용하면 g′(t)=[f′(s)−{f′(s)+s f″(s)}]ds/dt=−s f″(s)ds/dt입니다. f′(s) 항 둘이 상쇄됩니다.

f′(x)=x sec²x를 미분하면 f″(x)=sec²x+2x sec²x tan x=sec²x(1+2x tan x)입니다.

cos²s=1/2이고 0<s<π/2이므로 s=π/4입니다. 이때 sin s=cos s=√2/2이므로 ds/dt=−1입니다.

f″(π/4)=2{1+2(π/4)×1}=2+π입니다. 따라서 g′(1/2)=−(π/4)(2+π)(−1)=(π²+2π)/4이며 정답은 ③입니다.

s를 상수로 두고 미분하면 안 됩니다. t가 커질 때 s는 작아져 ds/dt<0이고, g′의 앞에도 음수가 있으므로 최종 값은 양수가 되는지 확인하세요.

등차수열의 공차를 d라 하면 d와 첫째항은 정수입니다. 등비수열은 bₙ=72rⁿ⁻¹입니다. 조건은 aₖ=b₃, aₖ₊₂₇=b₄, 그리고 ∑ₙ₌ₖ∞bₙ=aₖ₊₁₅입니다.

급수가 수렴하고 첫 항이 0이 아니므로 |r|<1입니다. 또한 b₃=aₖ와 b₄=aₖ₊₂₇은 정수이고 b₃=72r²≠0이므로 r=b₄/b₃는 0이 아닌 유리수입니다.

r=u/v를 서로소인 정수 u,v(v>0)로 나타냅니다. b₄=72u³/v³가 정수이고 u³,v³도 서로소이므로 v³은 72=2³×3²의 약수여야 합니다. 따라서 v는 1 또는 2입니다.

0<|r|<1이므로 v=1은 불가능하고 v=2이면 u=±1뿐입니다. 따라서 r=±1/2입니다. 27d=aₖ₊₂₇−aₖ=b₄−b₃를 사용합니다. r=1/2이면 d=(9−18)/27=−1/3이라 정수 조건에 어긋납니다. r=−1/2이면 d=(−9−18)/27=−1이므로 가능합니다.

r=−1/2일 때 b₃=18이고 aₖ=18입니다. d=−1이므로 aₖ₊₁₅=aₖ+15d=18−15=3입니다. 이것이 꼬리급수의 합입니다.

∑ₙ₌ₖ∞bₙ=bₖ/(1−r)=72(−1/2)ᵏ⁻¹/(3/2)=48(−1/2)ᵏ⁻¹입니다. 이것이 3이므로 (−1/2)ᵏ⁻¹=1/16입니다. 절댓값을 비교하면 k−1=4이고 부호도 양수로 맞아 k=5입니다.

∑ₙ₌₁∞ bₙ/kⁿ에 k=5를 넣으면 ∑ₙ₌₁∞72(−1/2)ⁿ⁻¹/5ⁿ입니다. 분모는 5n이 아니라 5의 n제곱입니다.

72(−1/2)ⁿ⁻¹/5ⁿ=(72/5)(−1/10)ⁿ⁻¹입니다. 따라서 새 급수의 첫 항은 72/5, 공비는 −1/10이고 절댓값이 1보다 작아 수렴합니다.

합은 (72/5)/{1−(−1/10)}=(72/5)/(11/10)=144/11입니다. 기약분수 q/p=144/11이므로 p=11,q=144, 따라서 p+q=155입니다.

a₅=18,d=−1이므로 a₁=22로 실제 정수 조건을 만족합니다. 또 b₅=72/16=9/2이어서 꼬리합은 (9/2)/(3/2)=3입니다. 공비 후보를 좁힐 때 b₃,b₄가 모두 정수라는 점을 빠뜨리지 마세요.

f(x)=−sin(ax)+b+1, g(x)=(x−b)²입니다. 따라서 H(x)=g(f(x))={1−sin(ax)}²이고 H′(x)=g′(f(x))f′(x)=−2a{1−sin(ax)}cos(ax)입니다.

a>0이고 1−sin(ax)≥0이므로 H′의 부호는 cos(ax)의 반대입니다. 첫 구간 0≤x≤π/(2a)에서는 H가 감소하고, 다음 π/(2a)≤x≤π/a에서는 증가합니다.

J(t)=∫₀ᵗ|H′(x)|dx라 두면 H(0)=1,H(π/(2a))=0,H(π/a)=1입니다. 따라서 J(π/(2a))=1, J(π/a)=2입니다. J는 t≥0에서 엄격히 증가합니다. |H′|는 음이 아니며 어떤 길이 있는 구간에서도 항상 0인 함수는 아니기 때문입니다.

주어진 J(2π)=5/4는 1과 2 사이입니다. 따라서 π/(2a)<2π<π/a이고 이를 a에 대해 풀면 1/4<a<1/2입니다. 이 범위를 알아야 2π가 어느 부호 구간에 있는지 판단할 수 있습니다.

0부터 π/(2a)까지 누적값은 1입니다. 그 뒤 2π까지는 H′≥0이므로 J(2π)=1+H(2π)−H(π/(2a))=1+{1−sin(2aπ)}²입니다. 따라서 {1−sin(2aπ)}²=1/4입니다.

1−sin(2aπ)≥0이므로 1−sin(2aπ)=1/2, 즉 sin(2aπ)=1/2입니다. 1/4<a<1/2에서 π/2<2aπ<π이므로 2aπ=5π/6, a=5/12입니다.

∫ᵇᵇ⁺¹ f(g(x))g′(x)dx에서 s=g(x)=(x−b)²로 놓습니다. x=b일 때 s=0, x=b+1일 때 s=1이고 ds=g′(x)dx이므로 적분은 ∫₀¹ f(s)ds가 됩니다.

∫₀¹{−sin(as)+b+1}ds=[cos(as)/a+(b+1)s]₀¹=(cos a−1)/a+b+1입니다. 이것이 cos a/a와 같으므로 b+1=1/a=12/5, 즉 b=7/5입니다.

f(2π)=−sin(2aπ)+b+1=−1/2+12/5=19/10입니다. 이 분수는 기약분수이므로 q=19,p=10입니다.

p+q=10+19=29입니다. 첫 적분은 1+(1−1/2)²=5/4이고 둘째 적분은 (cos a−1)/a+1/a=cos a/a로 두 조건 모두 맞습니다. 적분의 절댓값을 구간 구분 없이 없애지 않는 것이 핵심입니다.