기하 8문항 · 10단계 디딤돌 해설

벡터 a=(1,3), b=(−2,1)이고 a−2b=(k,1)입니다. 구하는 값 k는 계산 결과의 첫 번째 성분입니다.

(1,3)은 x방향 성분이 1, y방향 성분이 3이라는 뜻입니다. 벡터 연산은 같은 방향의 성분끼리 각각 계산합니다.

2b는 b의 두 성분을 모두 2배 한 벡터입니다. 따라서 2b=(2×(−2),2×1)=(−4,2)입니다.

a−2b=(1,3)−(−4,2)입니다. 첫 성분끼리, 둘째 성분끼리 빼므로 (1−(−4),3−2)가 됩니다.

1−(−4)=1+4=5입니다. 음수를 빼는 것은 그 절댓값을 더하는 것과 같으므로 결과의 첫 성분은 5입니다.

3−2=1입니다. 따라서 a−2b=(5,1)로 정리됩니다. 문제에 주어진 둘째 성분 1과도 일치합니다.

두 벡터 (5,1)과 (k,1)이 같으려면 대응하는 좌표가 각각 같아야 합니다. 첫 성분을 비교하면 k=5입니다.

k=5에 해당하는 선택지는 ⑤입니다. 벡터 전체가 아니라 문제에서 요구한 상수 k만 답합니다.

−2b=(4,−2)이므로 a−2b=a+(−2b)=(1,3)+(4,−2)=(5,1)입니다. 뺄셈을 덧셈으로 바꾸어도 같은 결과입니다.

−2를 곱할 때 b의 첫 성분 −2와 둘째 성분 1에 모두 곱했는지 확인하세요. x성분만 계산하더라도 y성분이 주어진 값과 맞는지 보면 부호 오류를 찾기 쉽습니다.

주어진 식은 x²/a²−y²/36=1이고 a>0입니다. x² 항이 양수이므로 좌우로 열리는 쌍곡선입니다.

36=6²이므로 식은 x²/a²−y²/6²=1입니다. 점근선의 기울기 공식에는 분모 자체 36이 아니라 그 제곱근 6이 들어갑니다.

쌍곡선 x²/A²−y²/B²=1의 점근선은 y=±(B/A)x입니다. 여기서 A=a, B=6입니다.

두 점근선은 y=(6/a)x와 y=−(6/a)x입니다. 둘 다 원점을 지나고 기울기의 부호만 서로 다릅니다.

문제에서 점근선 하나가 y=2x라고 했으므로 그 기울기는 양수 2입니다. a>0이므로 양의 기울기 6/a와 비교합니다.

6/a=2입니다. a는 0이 아니므로 양변에 a를 곱하여 6=2a를 얻습니다.

6=2a에서 a=3입니다. 양수 조건을 만족하며 선택지는 ③입니다.

점근선의 기울기는 쌍곡선 식에서 상수 1을 0으로 바꾼 x²/a²−y²/36=0을 풀어도 나옵니다. y²=(36/a²)x²에서 y=±(6/a)x입니다. 이는 점근선 방향을 확인하는 방법입니다.

a=3이면 x²/9−y²/36=1이고 점근선은 y=±(6/3)x=±2x입니다. 주어진 직선 y=2x가 정확히 포함됩니다.

기울기를 a/6으로 뒤집거나 36/a로 쓰지 않았는지 확인하세요. 분모 a²와 36에서 각각 양의 제곱근 a와 6을 읽는 것이 출발점입니다.

A=(1,2,k), k>0입니다. A를 xy평면에 대하여 대칭이동한 점이 B, x축에 대하여 대칭이동한 점이 C이고 AB=4입니다. 구하는 것은 AC입니다.

xy평면에서는 z=0입니다. 이 평면을 기준으로 뒤집으면 x,y좌표는 그대로이고 z좌표의 부호만 바뀝니다.

A=(1,2,k)이므로 B=(1,2,−k)입니다. A와 B는 수직 방향으로만 떨어져 있습니다.

AB=√{(1−1)²+(2−2)²+(k−(−k))²}=|2k|입니다. k>0이므로 AB=2k입니다.

AB=4이므로 2k=4, k=2입니다. 따라서 A=(1,2,2), B=(1,2,−2)입니다.

x축을 기준으로 대칭이동하면 축을 따라가는 x좌표는 유지되고, 축에 수직인 두 좌표 y,z의 부호가 모두 바뀝니다. xy평면 대칭과 다릅니다.

C=(1,−2,−k)이므로 k=2를 넣으면 C=(1,−2,−2)입니다. C의 x좌표가 −1이 되는 것은 아닙니다.

A에서 C까지의 좌표 차이는 (0,−4,−4)입니다. 따라서 AC²=0²+(−4)²+(−4)²=32입니다.

AC=√32=4√2이므로 정답은 ④입니다. 길이는 음수가 될 수 없으므로 양의 제곱근을 취합니다.

같은 x=1 평면에서 A와 C의 y,z 변화량은 각각 4입니다. 따라서 AC는 두 직각변이 4인 직각이등변삼각형의 빗변으로도 확인할 수 있습니다. 평면 대칭은 한 좌표, 축 대칭은 두 좌표의 부호가 바뀝니다.

y²=4px, p>0인 포물선의 접선이 y=2x+1입니다. 접점 P에서 준선까지의 거리를 구하려면 p와 접점의 x좌표를 알아야 합니다.

접선 위에서는 y=2x+1이므로 (2x+1)²=4px입니다. 전개하여 4x²+(4−4p)x+1=0을 얻습니다.

직선이 포물선에 접하면 교점 방정식이 중근을 갖습니다. 따라서 판별식은 (4−4p)²−4×4×1=0입니다.

16(1−p)²−16=0에서 (1−p)²=1입니다. 따라서 p=0 또는 p=2이지만 p>0이므로 p=2입니다.

p=2를 대입하면 4x²−4x+1=(2x−1)²=0입니다. 따라서 접점의 x좌표는 1/2입니다.

접선 식에 x=1/2을 넣으면 y=2×(1/2)+1=2입니다. 따라서 P=(1/2,2)입니다.

표준형 y²=4px의 초점은 (p,0), 준선은 x=−p입니다. p=2이므로 준선은 x=−2입니다.

P=(1/2,2)에서 수직선 x=−2까지의 최단거리는 수평 방향 거리입니다. 따라서 |1/2−(−2)|=5/2입니다. 정답은 ①입니다.

초점 F=(2,0)까지의 거리는 √{(2−1/2)²+(0−2)²}=√(9/4+4)=5/2입니다. 포물선 위 점은 초점과 준선까지의 거리가 같으므로 검산됩니다.

준선은 x=2가 아니라 x=−2입니다. 기울기 m인 접선 공식 y=mx+p/m을 알고 있다면 m=2, 절편 1=p/2로 p=2를 더 빠르게 얻을 수도 있습니다.

밑면 원의 지름이 8이고 AB=8이므로 AB는 밑면 원의 지름입니다. 아래 밑면을 포함한 평면을 α라고 하겠습니다. 구하려는 원기둥 높이를 h라 둡니다.

D에서 α에 내린 수선의 발을 D′라 하면 DD′=h이고 D′는 아래 원 위에 있습니다. C의 수선의 발은 B이므로 CD와 BD′는 평행합니다.

CD∥BD′이므로 AB와 BD′가 이루는 예각은 π/6입니다. 또 AB가 지름이고 D′가 원 위에 있으므로 ∠AD′B=π/2입니다. 따라서 직각삼각형 AD′B에서 ∠ABD′=π/6입니다.

빗변 AB=8이므로 AD′=8sin(π/6)=4, BD′=8cos(π/6)=4√3입니다. 공간 길이를 다루기 전 밑면 안의 길이를 확보합니다.

D′에서 AB에 내린 수선의 발을 H라 둡니다. 삼각형 AD′B의 넓이를 두 방식으로 쓰면 (1/2)×4×4√3=(1/2)×8×HD′입니다. 따라서 HD′=2√3입니다.

DD′⊥α이고 D′H⊥AB입니다. 삼수선의 정리에 의해 DH도 AB에 수직입니다. 따라서 삼각형 ABD에서 밑변 AB에 대응하는 높이는 HD입니다.

삼각형 ABD의 넓이 24=(1/2)×AB×HD=(1/2)×8×HD이므로 HD=6입니다. HD는 원기둥의 높이 h 자체가 아니라 공간 삼각형의 높이입니다.

DD′는 밑면에 수직이고 D′H는 밑면 안에 있으므로 ∠DD′H=π/2입니다. 직각삼각형 DD′H에서 HD²=DD′²+HD′²입니다.

6²=h²+(2√3)²에서 h²=36−12=24입니다. h>0이므로 h=2√6이며 정답은 ②입니다.

보조선의 역할을 구분하세요. HD′는 밑면에서의 거리, HD는 삼각형 ABD의 높이, DD′는 원기둥의 높이입니다. 24=(1/2)×8×6, 36=24+12로 두 조건을 검산할 수 있습니다.

타원의 두 초점은 F=(c,0), F′=(−c,0)이므로 FF′=2c입니다. 장축 길이를 2a라고 두면 타원 위 점 P에 대해 F′P+FP=2a입니다.

F′,P,Q가 이 순서로 일직선 위에 있고 F′Q가 장축 길이 2a와 같습니다. 따라서 F′P+PQ=F′Q=F′P+FP에서 PQ=FP입니다. 삼각형 PFQ는 이등변삼각형입니다.

θ=∠FF′P라 두면 조건에 의해 ∠QFP=θ입니다. PQ=PF이므로 ∠PQF=∠QFP=θ이고 QP와 QF′는 같은 방향이어서 ∠F′QF=θ입니다. 따라서 삼각형 F′FQ에서 F′각과 Q각이 같아 FQ=F′F=2c입니다.

F′P의 기울기가 √7/3이고 θ는 예각이므로 tan θ=√7/3입니다. 직각삼각형의 변 비를 3:√7:4로 보면 cos θ=3/4, sin θ=√7/4입니다.

이등변삼각형 PFQ에서 밑변 FQ=2×FP×cos θ입니다. 따라서 2c=2×FP×3/4이므로 FP=4c/3입니다.

삼각형 PFQ에서 끼인각 ∠QFP=θ이므로 넓이는 (1/2)×FP×FQ×sin θ입니다. 6√7=(1/2)×(4c/3)×(2c)×(√7/4)=c²√7/3이므로 c²=18, c=3√2입니다.

삼각형 F′FQ는 FQ=FF′=2c인 이등변삼각형이고 F′각은 θ입니다. 밑변 F′Q는 2×FF′×cos θ=2×2c×3/4=3c입니다. 이는 장축 길이이기도 합니다.

R도 타원 위의 점이므로 F′R+FR=2a=F′Q입니다. 또한 R,F,Q는 이 순서로 같은 직선 위에 있으므로 RQ=RF+FQ입니다. R은 y좌표가 음수인 교점이라 F의 아래쪽에 있습니다.

삼각형 F′RQ의 둘레는 F′Q+F′R+RQ=F′Q+(F′R+FR)+FQ=2F′Q+FQ=2×3c+2c=8c입니다. c=3√2이므로 둘레는 24√2이고 정답은 ③입니다.

P에서 얻은 초점거리의 합과 R에서 얻은 초점거리의 합은 모두 같은 장축 길이입니다. RQ를 RF+FQ로 나눈 뒤 F′R+FR를 한 묶음으로 보는 것이 핵심이며, 장축 길이와 반장축 a를 혼동하지 마세요.

AB=AD=6, AE=3입니다. AP:PB=2:1이므로 AP=4이고, AQ:QD=1:2이므로 AQ=2입니다. 정사영 넓이는 원래 넓이에 두 평면 사이 예각의 코사인을 곱하여 구합니다.

직육면체에서 EH,FG는 AD와 평행하고 EF∥AB입니다. R과 S가 각각 EH,FG 위에 있고 RS∥EF이므로 RS=EF=6입니다. RS는 옆면 AEHD에 수직이어서 그 안의 QR,AR와도 수직입니다.

QR⊥RS이므로 삼각형 QRS의 넓이 3√10=(1/2)×QR×6입니다. 따라서 QR=√10입니다.

Q에서 아래 평면 EFGH에 내린 수선의 발을 T라 하면 QT=AE=3이고 ET=AQ=2입니다. ER=u라 두면 0≤u<2이므로 TR=2−u입니다. 삼각형 QTR은 T에서 직각입니다.

QR²=QT²+TR²에서 10=9+(2−u)²입니다. 2−u>0이므로 2−u=1, u=1입니다. 삼각형 AER에서 AR²=AE²+ER²=9+1=10이므로 AR=√10입니다.

AB∥RS이므로 A,B,R,S는 한 평면 위에 있고 P∈AB여서 평면 ARP도 이 평면입니다. 두 평면 ARP,QRS의 교선은 RS입니다. AR⊥RS, QR⊥RS이므로 두 직선 AR,QR가 이루는 예각 θ가 두 평면의 예각입니다.

삼각형 ARQ에서 AR=QR=√10, AQ=2입니다. 2²=(√10)²+(√10)²−2×√10×√10×cos θ이므로 4=20−20cos θ, cos θ=4/5입니다.

AP는 AB 위에 있고 AB는 옆면 AEHD에 수직이므로 AP⊥AR입니다. 따라서 삼각형 ARP의 넓이는 (1/2)×AP×AR=(1/2)×4×√10=2√10입니다.

S=(2√10)×(4/5)=8√10/5입니다. 따라서 25S²=25×(64×10/25)=640입니다. S 자체가 아닌 25S²을 답해야 합니다.

코사인 값은 0<4/5<1이므로 정사영 넓이 S는 원래 넓이 2√10보다 작습니다. 공간에서 보이는 임의의 각을 쓰는 것이 아니라 교선 RS에 각각 수직인 두 선 AR,QR의 각을 써야 합니다.

5BP⃗=2BA⃗+3BC⃗이므로 위치벡터로 P=(2A+3C)/5입니다. 따라서 P는 선분 AC를 AP:PC=3:2로 내분합니다. A의 계수 2와 반대쪽 길이 PC가 연결됩니다.

Q가 직선 BP 위에 있으므로 PQ⃗=t BP⃗로 둡니다. CP⃗=−(2/3)AP⃗, PB⃗=−BP⃗이므로 AP⃗·PQ⃗=CP⃗·PB⃗은 t(AP⃗·BP⃗)=(2/3)(AP⃗·BP⃗)입니다. 조건 AP⃗·BP⃗>0에 의해 나눌 수 있어 t=2/3입니다.

PQ⃗=(2/3)BP⃗이므로 B,P,Q가 이 순서로 놓이고 BP:PQ=3:2입니다. AP:PC=BP:PQ=3:2이고 두 직선의 맞꼭지각이 같아 삼각형 BPA와 QPC는 닮음입니다.

삼각형 ABP와 APQ는 BP,PQ를 밑변으로 볼 때 A에서 직선 BQ까지의 높이가 같으므로 넓이 비가 3:2입니다. 또 ABP와 ABC는 AP,AC를 밑변으로 볼 때 높이가 같아 넓이 비가 3:5입니다. 따라서 [ABC]=(5/3)(3/2)[APQ]=(5/2)×(4√5/5)=2√5입니다.

AB=AC=3이므로 [ABC]=(1/2)×3×3×sin∠BAC입니다. 2√5=(9/2)sin∠BAC에서 sin∠BAC=4√5/9입니다.

sin²∠BAC=80/81이므로 cos²∠BAC=1/81입니다. ABC가 예각삼각형이므로 코사인은 양수이고 cos∠BAC=1/9입니다. 따라서 BC²=3²+3²−2×3×3×(1/9)=16, BC=4입니다.

삼각형 BPA와 QPC의 닮음으로 AB∥CQ입니다. A와 Q에서 직선 BC에 내린 수선의 발을 각각 R,S라 하겠습니다. AB=AC인 이등변삼각형이므로 R은 BC의 중점이고 BR=RC=2입니다.

닮음에서 AB:QC=3:2이므로 직각삼각형 ABR과 QCS의 대응비도 3:2입니다. 따라서 CS=(2/3)BR=4/3입니다. B,R,C,S의 순서이므로 RS=RC+CS=2+4/3=10/3입니다.

AQ⃗의 BC⃗ 방향 정사영은 R에서 S로 향하며 양의 길이가 RS입니다. 따라서 AQ⃗·BC⃗=RS×BC=(10/3)×4=40/3입니다. 이는 기약분수 q/p이므로 q=40,p=3입니다.

p+q=43입니다. 벡터식으로 Q=(2/3)A+C−(2/3)B이므로 AQ⃗=BC⃗−(1/3)BA⃗입니다. BA⃗·BC⃗=BC²/2=8이어서 AQ⃗·BC⃗=16−8/3=40/3으로도 확인됩니다. 내적 조건에서 0으로 나누지 않도록 AP⃗·BP⃗>0을 사용한 이유를 기억하세요.