집합론 기초 (Sets, Functions, and Mappings)
모든 수학적 구조의 가장 원자적인 단위는 집합이며, 이들 사이의 관계를 규정하는 것이 함수입니다. 해석학의 많은 정리는 이 함수들의 대응 관계(Mapping)를 분석하는 데서 출발합니다.
1. 집합의 기본 개념과 연산
해석학에서는 주로 실수 집합 $\mathbb{R}$의 부분집합을 다룹니다. 특히 드 모르간의 법칙(De Morgan's Laws)은 임의의 인덱스 가족 $\{A_\alpha\}_{\alpha \in I}$에 대해서도 성립합니다.
$$\left( \bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha \right)^c = \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha^c, \quad \left( \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha \right)^c = \bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha^c$$
2. 함수의 엄밀한 정의
함수 $f: A \to B$는 집합 $A$의 모든 원소가 $B$의 단 하나의 원소에 대응되는 관계입니다. 이때 $A$를 정의역(Domain), $B$를 공역(Codomain)이라 하며, 실제 대응된 값들의 집합 $f(A)$를 치역(Range)이라 합니다.
3. 대응의 유형 (Type of Mappings)
Essential Classifications
- 단사 함수 (Injective, One-to-one): $x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$. 서로 다른 투입값은 서로 다른 결과값을 냅니다.
- 전사 함수 (Surjective, Onto): $f(A) = B$. 공역과 치역이 일치하여 노는 원소가 없습니다.
- 전단사 함수 (Bijective): 단사이면서 전사인 함수입니다. 이 경우에만 역함수(Inverse function)가 존재합니다.
[Image of injective surjective and bijective function diagrams]
4. 역상과 상 (Images and Pre-images)
해석학 증명에서 가장 빈번하게 사용되는 도구입니다. 집합 $E \subset A$와 $H \subset B$에 대하여:
- 상(Image): $f(E) = \{f(x) : x \in E\}$
- 역상(Pre-image): $f^{-1}(H) = \{x \in A : f(x) \in H\}$
5. 집합의 크기 (Cardinality)
두 집합 사이에 전단사 함수가 존재하면 두 집합의 농도(Cardinality)가 같다고 합니다.
- 가부번 집합 (Countable): 자연수 집합 $\mathbb{N}$과 농도가 같은 집합 (예: $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}$).
- 비가산 집합 (Uncountable): $\mathbb{N}$보다 농도가 큰 집합 (예: $\mathbb{R}, [0, 1]$).