실수의 완비성 공리와 동치 정리
실수 체계 $\mathbb{R}$의 완비성(Completeness)은 "위로 유계인 집합은 상한을 갖는다"는 공리로부터 시작됩니다. 이 공리는 아래 4가지 중요한 정리들과 논리적으로 동치입니다.
Theorem 1. 단조수렴 정리 (Monotone Convergence Theorem)
정의: 수열 $\{a_n\}$이 단조 증가하고 위로 유계이면, 이 수열은 반드시 수렴한다.
[증명: 상한 공리 $\implies$ MCT]
수열의 치역 $S = \{a_n : n \in \mathbb{N}\}$은 위로 유계이므로 상한 $L = \sup S$가 존재한다.
임의의 $\epsilon > 0$에 대해 $L-\epsilon$은 상계가 아니므로 $a_N > L-\epsilon$인 $N$이 존재한다.
수열이 단조 증가하므로 모든 $n \ge N$에 대해 $L-\epsilon < a_N \le a_n \le L < L+\epsilon$이다.
따라서 $|a_n - L| < \epsilon$이 되어 수열은 $L$로 수렴한다.
Theorem 2. 축소구간 정리 (Nested Interval Property)
정의: 유계인 닫힌 구간들의 수열 $I_n = [a_n, b_n]$이 $I_{n+1} \subset I_n$을 만족하면, $\bigcap_{n=1}^\infty I_n \neq \emptyset$이다.
[증명: MCT $\implies$ NIP]
구간이 중첩되므로 왼쪽 끝점 $a_n$은 단조 증가 수열이고, $b_n$에 의해 위로 유계이다.
단조수렴 정리에 의해 $a_n \to a$로 수렴한다.
이때 모든 $n$에 대해 $a_n \le a \le b_n$이 성립하므로, $a$는 모든 $I_n$에 포함된다.
Theorem 3. 볼차노-바이어슈트라스 정리 (Bolzano-Weierstrass Theorem)
정의: 유계인 모든 수열은 수렴하는 부분수열을 갖는다.
[증명: NIP $\implies$ BW]
수열 $\{x_n\}$이 유계이므로 $I_1 = [a, b]$ 안에 모든 항이 있다.
$I_1$을 반으로 나누어 무한히 많은 항을 포함하는 쪽을 $I_2$로 택한다.
이 과정을 반복하여 축소구간 수열 $I_k$를 만들면, NIP에 의해 공통점 $x$가 존재하며, 각 $I_k$에서 항을 하나씩 뽑아 만든 부분수열은 $x$로 수렴한다.
Theorem 4. 코시 판정법 (Cauchy Criterion)
정의: 실수 수열 $\{a_n\}$이 수렴할 필요충분조건은 그 수열이 코시 수열인 것이다.
[증명: BW $\implies$ Cauchy]
코시 수열은 유계이므로 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의해 수렴하는 부분수열 $\{a_{n_k}\}$를 갖는다 ($a_{n_k} \to L$).
코시 수열의 성질($|a_n - a_m| < \epsilon$)과 부분수열의 수렴성을 삼각부등식으로 결합하면 전체 수열도 $L$로 수렴함을 보일 수 있다.