상한(Supremum)과 하한(Infimum)
상한은 최소상계(Least Upper Bound), 하한은 최대하계(Greatest Lower Bound)를 의미합니다. 이는 실수가 빈틈없이 메워져 있음을 보여주는 핵심 개념입니다.
1. 상계와 하계 (Upper & Lower Bounds)
실수 집합 $S \subset \mathbb{R}$에 대하여:
- 상계(Upper Bound): 모든 $s \in S$에 대해 $s \le u$를 만족하는 실수 $u$.
- 하계(Lower Bound): 모든 $s \in S$에 대해 $l \le s$를 만족하는 실수 $l$.
상계가 존재하면 집합 $S$는 위로 유계(Bounded above)라고 합니다.
2. 상한(Sup)과 하한(Inf)의 엄밀한 정의
Supremum Definition
실수 $M$이 집합 $S$의 상한($\sup S$)이 되기 위한 두 가지 조건:
- $M$은 $S$의 상계이다. ($\forall s \in S, s \le M$)
- $M$보다 작은 임의의 수 $M - \epsilon$은 더 이상 $S$의 상계가 아니다.
$$\forall \epsilon > 0, \exists s \in S \quad \text{s.t.} \quad s > \sup S - \epsilon$$
3. 완비성 공리 (Least Upper Bound Axiom)
실수계의 가장 강력한 특징입니다.
"공집합이 아니고 위로 유계인 실수의 부분집합은 반드시 실수의 범위 내에 상한을 가진다."
유리수 집합 $\mathbb{Q}$는 이 공리를 만족하지 않습니다. (예: $S = \{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2\}$의 상한은 $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$)
4. 최대·최소값과의 차이점
| 개념 |
집합 포함 여부 |
존재성 |
| Max / Min |
반드시 집합 원소여야 함 |
없을 수도 있음 |
| Sup / Inf |
집합에 속하지 않아도 됨 |
유계면 항상 존재함 |
예: $S = (0, 1)$ 일 때, $\sup S = 1$ (상한은 존재하나 최댓값은 없음).
5. 아르키메데스 성질 (Archimedean Property)
상한의 존재성을 이용해 증명되는 중요한 성질입니다.
$$\forall x \in \mathbb{R}, \exists n \in \mathbb{N} \quad \text{s.t.} \quad n > x$$
즉, 아무리 큰 실수라도 그보다 더 큰 자연수가 존재한다는 것으로, 실수의 조밀성(Density)을 증명하는 근거가 됩니다.