상한·하한 실전 증명 예제 (Proofs using Sup & Inf)
상한 증명의 핵심 테크닉: $s \le M$임을 보여 상계임을 증명하고, 임의의 $\epsilon$에 대해 $s > M - \epsilon$인 원소가 존재함을 보여 최소상계임을 증명합니다.
Ex 1. 집합의 합과 상한
문제: $A, B \subset \mathbb{R}$이 유계일 때, $A+B = \{a+b : a \in A, b \in B\}$에 대하여 $\sup(A+B) = \sup A + \sup B$임을 증명하시오.
[상계 증명] 임의의 $a \in A, b \in B$에 대해 $a \le \sup A, b \le \sup B$이므로 $a+b \le \sup A + \sup B$이다. 즉, $\sup A + \sup B$는 $A+B$의 상계이다.
[최소상계 증명] 임의의 $\epsilon > 0$에 대해, $a > \sup A - \epsilon/2$인 $a \in A$와 $b > \sup B - \epsilon/2$인 $b \in B$가 존재한다.
이때 $a+b > (\sup A + \sup B) - \epsilon$이므로, $\sup A + \sup B$보다 작은 수는 상계가 될 수 없다.
Ex 2. 특정 집합의 하한 구하기
문제: 집합 $S = \{ \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \}$의 하한이 0임을 증명하시오.
[하계 증명] 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $1/n > 0$이므로 0은 $S$의 하계이다.
[최대하계 증명] 만약 $0$보다 큰 하계 $l > 0$이 존재한다고 가정하자.
아르키메데스 성질에 의해 $n > 1/l$을 만족하는 자연수 $n$이 존재한다.
이 식을 정리하면 $1/n < l$이 되는데, 이는 $l$이 $S$의 하계라는 가정에 모순이다. 따라서 $\inf S = 0$이다.
Ex 3. 상수배와 상한/하한의 반전
문제: 유계인 집합 $S$와 $c < 0$에 대하여 $\sup(cS) = c \inf S$임을 보이시오.
[상계 증명] 임의의 $s \in S$에 대해 $s \ge \inf S$이다. $c < 0$이므로 부동호가 바뀌어 $cs \le c \inf S$가 된다. 따라서 $c \inf S$는 $cS$의 상계이다.
[최소상계 증명] 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 $s < \inf S - \epsilon/c$인 $s \in S$가 존재한다. ($c$가 음수이므로 $-\epsilon/c$는 양수임)
양변에 $c$를 곱하면 $cs > c \inf S - \epsilon$이 되므로 최소상계 조건을 만족한다.
Ex 4. 단조성 (Monotonicity)
문제: 비공집합 $A, B$에 대하여 $A \subset B$이고 $B$가 위로 유계이면, $\sup A \le \sup B$임을 보이시오.
[증명] $B$의 상한 $\sup B$는 모든 $b \in B$에 대하여 $b \le \sup B$를 만족한다.
$A \subset B$이므로, 모든 $a \in A$에 대해서도 $a \in B$가 성립하며 따라서 $a \le \sup B$이다.
즉, $\sup B$는 $A$의 **상계** 중 하나이다. 상한은 상계 중 가장 작은 값($\sup A$)이므로, $\sup A \le \sup B$가 성립한다.
Ex 5. 하한과 수열의 관계
문제: $\inf S = L$이면, $L \le x_n < L + 1/n$을 만족하는 수열 $\{x_n\} \subset S$가 존재함을 증명하시오.
[증명] 하한의 정의에 의해, 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 $L \le x < L + \epsilon$인 $x \in S$가 적어도 하나 존재한다.
각 자연수 $n$에 대하여 $\epsilon = 1/n$으로 선택하자.
그러면 각 $n$마다 $L \le x_n < L + 1/n$을 만족하는 $x_n \in S$를 택할 수 있으며, 이들로 구성된 수열 $\{x_n\}$은 조건을 만족한다.