ε-N 정의를 활용한 수열의 극한 증명 5선
증명의 핵심은 $|a_n - L| < \epsilon$을 만족시키기 위해 $n$에 대한 부등식을 풀고, 그 결과로 나타나는 식보다 큰 자연수 $N$을 택하는 것입니다.
Ex 1. 일차식 분수 수열
예제 1. $\lim_{n \to \infty} \frac{3n+1}{n+2} = 3$ 임을 증명하시오.
[분석] $|\frac{3n+1}{n+2} - 3| = |\frac{3n+1 - 3n - 6}{n+2}| = \frac{5}{n+2} < \frac{5}{n} < \epsilon$
따라서 $n > 5/\epsilon$ 이면 충분하다.
[증명] 임의의 $\epsilon > 0$ 에 대하여 $N > 5/\epsilon$ 인 자연수 $N$을 택하자.
$n \ge N$ 이면, $|\frac{3n+1}{n+2} - 3| < \frac{5}{n} \le \frac{5}{N} < 5 \cdot \frac{\epsilon}{5} = \epsilon$ 이 성립한다.
Ex 2. 무리식 수열
예제 2. $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = 0$ 임을 증명하시오.
[분석] $|\sqrt{n+1} - \sqrt{n}| = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} < \frac{1}{2\sqrt{n}} < \epsilon$
양변을 제곱하여 정리하면 $n > \frac{1}{4\epsilon^2}$ 이 유도된다.
[증명] $\epsilon > 0$ 이 주어졌을 때, $N > \frac{1}{4\epsilon^2}$ 인 자연수 $N$을 잡자.
$n \ge N$ 이면, $|\sqrt{n+1} - \sqrt{n}| < \frac{1}{2\sqrt{n}} \le \frac{1}{2\sqrt{N}} < \frac{1}{2\sqrt{1/4\epsilon^2}} = \epsilon$ 이다.
Ex 3. 고차식 수열 (유계 활용)
예제 3. $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + 1} = 1$ 임을 증명하시오.
[분석] $|\frac{n^2}{n^2+1} - 1| = |\frac{-1}{n^2+1}| = \frac{1}{n^2+1} < \frac{1}{n^2} \le \frac{1}{n} < \epsilon$ (단, $n \ge 1$)
[증명] 임의의 $\epsilon > 0$ 에 대해 $N > 1/\epsilon$ 인 $N \in \mathbb{N}$을 택하자.
$n \ge N$ 이면, $|\frac{n^2}{n^2+1} - 1| < \frac{1}{n^2} \le \frac{1}{n} \le \frac{1}{N} < \epsilon$ 이 성립한다.
Ex 4. 기하 수열 (Bernoulli 부등식 활용)
예제 4. $|r| < 1$ 일 때, $\lim_{n \to \infty} r^n = 0$ 임을 증명하시오.
[분석] $|r| = \frac{1}{1+h}$ ($h > 0$)라 두면, 베르누이 부등식에 의해 $(1+h)^n \ge 1+nh > nh$이다.
따라서 $|r^n - 0| = |r|^n = \frac{1}{(1+h)^n} < \frac{1}{nh} < \epsilon$ 이 성립하려면 $n > \frac{1}{h\epsilon}$ 이어야 한다.
[증명] $N > \frac{1}{h\epsilon}$ 인 $N$을 택하면, $n \ge N$ 일 때 $|r^n| < \frac{1}{nh} \le \frac{1}{Nh} < \epsilon$ 이다.
Ex 5. 무한대 발산
예제 5. $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2-1}{n} = \infty$ 임을 증명하시오.
[발산의 정의] $\forall M > 0, \exists N \in \mathbb{N}$ s.t. $n \ge N \implies a_n > M$
[분석] $\frac{n^2-1}{n} = n - \frac{1}{n} \ge n - 1 > M$. 따라서 $n > M+1$ 이면 된다.
[증명] 임의의 $M > 0$ 에 대하여 $N > M+1$ 인 $N$을 택하자.
$n \ge N$ 이면, $a_n = n - \frac{1}{n} \ge N - \frac{1}{n} > (M+1) - 1 = M$ 이 성립한다.