코시 수열 판정법 실전 증명 예제
코시 수열 증명의 핵심은 $|a_n - a_m|$을 적절히 조작하여 $n, m$이 커짐에 따라 임의의 $\epsilon$보다 작게 유도하는 것입니다. 주로 삼각 부등식과 기하급수의 성질이 사용됩니다.
Ex 1. 축소 수열의 수렴성
예제 1. 모든 $n$에 대해 $|a_{n+2} - a_{n+1}| \le k|a_{n+1} - a_n|$ ($0 < k < 1$)을 만족하는 수열은 코시 수열임을 증명하시오.
[분석] 인접한 항 사이의 거리는 $|a_{n+1} - a_n| \le k^{n-1}|a_2 - a_1|$이다.
[증명] $m > n$이라 할 때, 삼각 부등식에 의해:
$$|a_m - a_n| \le |a_m - a_{m-1}| + \dots + |a_{n+1} - a_n| \le (k^{m-2} + \dots + k^{n-1})|a_2 - a_1|$$
기하급수의 합 공식에 의해 $|a_m - a_n| \le \frac{k^{n-1}}{1-k}|a_2 - a_1|$이다. $n \to \infty$일 때 이 값은 $0$으로 수렴하므로 코시 수열이다.
Ex 2. 발산 증명 (부정)
예제 2. 수열 $s_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$이 코시 수열이 아님을 보이시오.
[전략] 특정 $\epsilon$에 대해 $|s_m - s_n| \ge \epsilon$인 $m, n$이 항상 존재함을 보인다.
[증명] $m = 2n$이라 설정하면:
$$|s_{2n} - s_n| = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n} > \underbrace{\frac{1}{2n} + \dots + \frac{1}{2n}}_{n \text{ 개}} = \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}$$
$\epsilon = 1/2$로 잡으면, 아무리 큰 $n$을 택해도 $|s_{2n} - s_n| > 1/2$이므로 코시 수열이 아니다. (따라서 발산한다.)
Ex 3. 급수의 코시 판정
예제 3. 급수 $\sum \frac{(-1)^n}{n}$의 부분합 수열 $s_n$이 코시 수열임을 보이시오.
[증명] $m > n$일 때, $|s_m - s_n| = |\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{(-1)^{m-1}}{m}|$이다.
[성질 활용] 교대급수 성질에 의해 이 절대값은 첫 번째 항인 $\frac{1}{n+1}$보다 작거나 같다.
$$|s_m - s_n| < \frac{1}{n+1}$$
임의의 $\epsilon$에 대해 $N > 1/\epsilon$인 $N$을 택하면 $n \ge N$일 때 $|s_m - s_n| < \epsilon$이 되어 코시 수열이다.
Ex 4. 재귀 수열 (Recursive)
예제 4. $x_1 = 1, x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_n}$일 때, $\{x_n\}$이 코시 수열임을 보이시오.
[증명] $|x_{n+1} - x_n| = |(1 + \frac{1}{x_n}) - (1 + \frac{1}{x_{n-1}})| = \frac{|x_n - x_{n-1}|}{x_n x_{n-1}}$이다.
모든 항 $x_n \ge 1$임을 쉽게 보일 수 있고, 실제로 $x_n \ge 3/2$ (for $n \ge 2$)이다.
$$|x_{n+1} - x_n| \le \frac{1}{(3/2)^2} |x_n - x_{n-1}| = \frac{4}{9} |x_n - x_{n-1}|$$
공비가 $4/9 < 1$인 축소 수열이므로 예제 1에 의해 코시 수열이며 수렴한다.
Ex 5. 절대 수렴 급수
예제 5. $a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$이 코시 수열임을 보이시오.
[증명] $m > n$일 때, $|a_m - a_n| = \frac{1}{(n+1)^2} + \dots + \frac{1}{m^2}$이다.
[부등식 테크닉] $\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$임을 이용한다.
$$|a_m - a_n| < (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) + \dots + (\frac{1}{m-1} - \frac{1}{m}) = \frac{1}{n} - \frac{1}{m} < \frac{1}{n}$$
임의의 $\epsilon$에 대해 $N > 1/\epsilon$을 잡으면 코시 정의를 만족한다.