함수의 극한과 연속 (Limits & Continuity)
함수의 극한은 점근적 거동을 기술하고, 연속성은 그 거동이 함숫값과 일치함을 보장합니다. 이 두 개념은 미분과 적분을 정의하는 해석학의 가장 단단한 주춧돌입니다.
1. 함수의 극한: $\epsilon-\delta$ 정의
극한 $\lim_{x \to c} f(x) = L$은 직관적으로 "$x$가 $c$에 가까워질 때 $f(x)$가 $L$에 가까워짐"을 뜻하지만, 수학적으로는 다음과 같이 엄밀하게 정의됩니다.
$$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \quad \text{s.t.} \quad 0 < |x - c| < \delta \implies |f(x) - L| < \epsilon$$
2. 함수의 연속성 (Continuity)
Definition
함수 $f$가 점 $c$에서 연속이라는 것은 극한값이 존재하고 그 값이 함숫값과 같음을 의미합니다.
$$\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$$
만약 집합 $S$의 모든 점에서 연속이면, $f$는 $S$에서 연속함수라고 합니다.
3. 연속함수의 3대 핵심 정리
IVT
중간값 정리
연속함수는 구간 내의 두 함숫값 사이의 모든 값을 적어도 한 번은 가집니다. (해의 존재성 증명)
EVT
최대-최소 정리
컴팩트 구간($[a, b]$)에서 연속인 함수는 반드시 최댓값과 최솟값을 갖습니다.
Uniform Continuity
균등연속성
구간 내의 모든 점에 대해 동일한 $\delta$를 사용할 수 있는 성질로, 리만 적분 가능성의 핵심 조건입니다.
4. 불연속의 분류 (Classification)
- 제1종 불연속 (Jump): 좌극한과 우극한이 모두 존재하지만 서로 다른 경우.
- 제2종 불연속 (Essential): 좌극한이나 우극한 중 하나 이상이 존재하지 않는 경우 (예: $\sin(1/x)$).
- 제거 가능한 불연속 (Removable): 극한값은 존재하지만 함숫값이 다르거나 정의되지 않은 경우.
[Image of types of discontinuities jump removable and infinite]
5. 수열적 접근 (Sequential Characterization)
$f$가 $c$에서 연속 $\iff$ $c$로 수렴하는 모든 수열 $\{x_n\}$에 대해 $f(x_n) \to f(c)$
이 성질은 함수가 연속이 아님을 증명하거나, 수열의 극한 성질을 함수로 확장할 때 강력한 도구가 됩니다.