ε-δ 정의를 활용한 극한 증명 5선
극한의 엄밀한 증명은 (1) 적절한 $\delta$를 찾기 위한 예비 분석과 (2) 선택한 $\delta$가 정의를 만족함을 보이는 본 증명의 2단계로 구성됩니다.
유형 1. 선형 함수 (Linear Function)
예제 1. $\lim_{x \to 4} (3x - 7) = 5$ 임을 증명하시오.
[분석] $|(3x - 7) - 5| = |3x - 12| = 3|x - 4| < \epsilon$ 을 만족해야 한다.
따라서 $|x - 4| < \frac{\epsilon}{3}$ 이면 충분하므로 $\delta = \frac{\epsilon}{3}$ 로 선택한다.
[증명] 임의의 $\epsilon > 0$ 에 대하여 $\delta = \epsilon/3$ 이라 하자.
$0 < |x - 4| < \delta$ 이면, $|(3x - 7) - 5| = 3|x - 4| < 3\delta = 3(\frac{\epsilon}{3}) = \epsilon$ 이 성립한다.
유형 2. 이차 함수 (Quadratic Function)
예제 2. $\lim_{x \to 2} x^2 = 4$ 임을 증명하시오.
[분석] $|x^2 - 4| = |x-2||x+2| < \epsilon$.
먼저 $|x-2| < 1$ 이라 가정하면(임의의 거리 제한), $1 < x < 3$ 이므로 $|x+2| < 5$ 이다.
따라서 $|x-2| < \min(1, \frac{\epsilon}{5})$ 이면 $|x-2||x+2| < \frac{\epsilon}{5} \cdot 5 = \epsilon$ 이 된다.
[증명] $\delta = \min(1, \epsilon/5)$ 라 하자.
$0 < |x - 2| < \delta$ 이면 $|x+2| < 5$ 이고, $|x^2 - 4| = |x-2||x+2| < \delta \cdot 5 \le \frac{\epsilon}{5} \cdot 5 = \epsilon$ 이다.
유형 3. 유리 함수 (Rational Function)
예제 3. $\lim_{x \to 1} \frac{1}{x+2} = \frac{1}{3}$ 임을 증명하시오.
[분석] $|\frac{1}{x+2} - \frac{1}{3}| = |\frac{3-(x+2)}{3(x+2)}| = \frac{|x-1|}{3|x+2|} < \epsilon$.
$|x-1| < 1$ 이라 가정하면 $0 < x < 2$ 이므로 $x+2 > 2$, 즉 $\frac{1}{|x+2|} < \frac{1}{2}$ 이다.
따라서 $\delta = \min(1, 6\epsilon)$ 이면 $\frac{|x-1|}{3|x+2|} < \frac{6\epsilon}{3 \cdot 2} = \epsilon$ 이 성립한다.
유형 4. 삼각 함수 (Trigonometric Function)
예제 4. $\lim_{x \to 0} \sin x = 0$ 임을 증명하시오.
[증명] 잘 알려진 부등식 $|\sin x| \le |x|$ 를 이용한다.
임의의 $\epsilon > 0$ 에 대하여 $\delta = \epsilon$ 이라 하자.
$0 < |x - 0| < \delta$ 이면, $|\sin x - 0| = |\sin x| \le |x| < \delta = \epsilon$ 이 성립한다.
유형 5. 극한의 부재 (Non-existence)
예제 5. $\lim_{x \to 0} \sin(\frac{1}{x})$ 가 존재하지 않음을 증명하시오.
[수열 판정법 활용] $\epsilon-\delta$ 정의의 부정인
수열 판정법을 사용한다.
두 수열 $x_n = \frac{1}{n\pi + \pi/2}$, $y_n = \frac{1}{n\pi}$ 를 고려하자.
$n \to \infty$ 일 때 $x_n, y_n \to 0$ 이지만:
$$f(x_n) = \sin(n\pi + \pi/2) = \pm 1, \quad f(y_n) = \sin(n\pi) = 0$$
서로 다른 값으로 수렴하는 수열이 존재하므로 극한은 존재하지 않는다.