연속성 증명: 유형별 실전 예제
$\epsilon-\delta$ 증명의 핵심은 주어진 $\epsilon$에 대하여 $|f(x)-f(c)| < \epsilon$을 만족하도록 만드는 $\delta$를 $x$와 상관없이 $c$와 $\epsilon$만으로 표현해내는 것입니다.
유형 1. 다항함수의 연속성
예제 1. $f(x) = x^2$이 임의의 실수 $c$에서 연속임을 증명하시오.
[분석] $|x^2 - c^2| = |x-c||x+c|$ 이다. $|x-c| < 1$이라 가정하면 $|x+c| = |x-c+2c| \le |x-c| + 2|c| < 1 + 2|c|$이다.
[증명] 임의의 $\epsilon > 0$에 대하여 $\delta = \min(1, \frac{\epsilon}{1+2|c|})$로 택하자.
$$|x-c| < \delta \implies |x^2 - c^2| = |x-c||x+c| < \frac{\epsilon}{1+2|c|} \cdot (1+2|c|) = \epsilon$$
따라서 $f(x)=x^2$은 $c$에서 연속이다.
유형 2. 유리함수의 연속성
예제 2. $f(x) = \frac{1}{x}$이 $c > 0$에서 연속임을 증명하시오.
[분석] $|\frac{1}{x} - \frac{1}{c}| = \frac{|x-c|}{xc}$이다. 분모의 $x$를 통제하기 위해 $|x-c| < \frac{c}{2}$로 잡으면 $x > \frac{c}{2}$가 되어 $\frac{1}{xc} < \frac{2}{c^2}$이 성립한다.
[증명] $\delta = \min(\frac{c}{2}, \frac{c^2 \epsilon}{2})$로 택하면:
$$|x-c| < \delta \implies |\frac{1}{x} - \frac{1}{c}| = \frac{|x-c|}{xc} < \frac{c^2 \epsilon}{2} \cdot \frac{2}{c^2} = \epsilon$$
유형 3. 무리함수의 연속성
예제 3. $f(x) = \sqrt{x}$가 $c > 0$에서 연속임을 증명하시오.
[분석] $|\sqrt{x} - \sqrt{c}| = \frac{|x-c|}{\sqrt{x}+\sqrt{c}} \le \frac{|x-c|}{\sqrt{c}}$이다.
[증명] $\delta = \sqrt{c}\epsilon$으로 택하면 (단, $x \ge 0$ 범위 내):
$$|x-c| < \delta \implies |\sqrt{x} - \sqrt{c}| \le \frac{|x-c|}{\sqrt{c}} < \frac{\sqrt{c}\epsilon}{\sqrt{c}} = \epsilon$$
유형 4. Dirichlet 함수의 불연속성
예제 4. $f(x) = \begin{cases} 1 & (x \in \mathbb{Q}) \\ 0 & (x \notin \mathbb{Q}) \end{cases}$ 가 모든 점에서 불연속임을 보이시오.
[증명] 임의의 실수 $c$에 대하여:
1. 유리수 수열 $\{r_n\}$이 $c$로 수렴하도록 잡으면 $f(r_n) = 1 \to 1$.
2. 무리수 수열 $\{s_n\}$이 $c$로 수렴하도록 잡으면 $f(s_n) = 0 \to 0$.
수열 판정법에 의해 두 극한값이 일치하지 않으므로 $f$는 $c$에서 연속일 수 없다.
유형 5. 성질을 이용한 일반 증명
예제 5. $g$가 $c$에서 연속이고 $f$가 $g(c)$에서 연속이면, $f \circ g$는 $c$에서 연속임을 증명하시오.
[증명] $\epsilon > 0$이 주어졌을 때, $f$의 연속성에 의해 $|y - g(c)| < \eta \implies |f(y) - f(g(c))| < \epsilon$인 $\eta > 0$이 존재한다.
다시 $g$의 연속성에 의해 $|x - c| < \delta \implies |g(x) - g(c)| < \eta$인 $\delta > 0$이 존재한다.
[결론] 따라서 $|x - c| < \delta$이면 $|g(x) - g(c)| < \eta$이고, 이는 $|f(g(x)) - f(g(c))| < \epsilon$을 의미한다.