중간값 정리 증명 예제 (Proofs using IVT)
중간값 정리를 활용한 증명의 핵심은 적절한 보조함수 $g(x)$를 정의하여 문제가 요구하는 조건을 $g(c)=0$의 형태로 변환하는 데 있습니다.
Ex 1. 홀수 차수 다항식의 성질
문제: 모든 홀수 차수 다항식은 적어도 하나의 실근을 가짐을 증명하시오.
[증명] $P(x) = a_n x^n + \dots + a_0$ ($n$은 홀수, $a_n > 0$)라 하자.
[극한 평가] $n$이 홀수이므로 $\lim_{x \to \infty} P(x) = \infty$이고, $\lim_{x \to -\infty} P(x) = -\infty$이다.
[IVT 적용] 따라서 충분히 큰 양수 $M$과 충분히 작은 음수 $m$을 택하면 $P(M) > 0$이고 $P(m) < 0$이다.
다항함수는 모든 실수에서 연속이므로 $[m, M]$에서 중간값 정리에 의해 $P(c) = 0$인 $c \in (m, M)$가 존재한다.
Ex 2. 고정점의 존재성 (Fixed Point Theorem)
문제: 함수 $f$가 $[0, 1]$에서 연속이고 함숫값이 $[0, 1]$에 속할 때($f: [0, 1] \to [0, 1]$), $f(c) = c$인 $c \in [0, 1]$가 존재함을 보이시오.
[보조함수 정의] $g(x) = f(x) - x$라 하자. $g(x)$는 $[0, 1]$에서 연속이다.
[경계값 조사]
$g(0) = f(0) - 0 = f(0) \ge 0$ (공역이 $[0, 1]$이므로).
$g(1) = f(1) - 1 \le 0$ ($f(1) \le 1$이므로).
[IVT 적용]
1) $g(0)=0$ 또는 $g(1)=0$이면 $0$ 또는 $1$이 고정점이다.
2) $g(0) > 0$이고 $g(1) < 0$이면 IVT에 의해 $g(c) = 0$, 즉 $f(c) = c$인 $c \in (0, 1)$가 존재한다.
Ex 3. 두 함수의 교점
문제: $f, g$가 $[a, b]$에서 연속이고 $f(a) < g(a), f(b) > g(b)$이면, $f(c) = g(c)$인 $c \in (a, b)$가 존재함을 보이시오.
[보조함수 정의] $h(x) = f(x) - g(x)$라 하자. $h$는 연속이다.
[부호 판정] $h(a) = f(a) - g(a) < 0$이고, $h(b) = f(b) - g(b) > 0$이다.
[IVT 적용] $h(a) \cdot h(b) < 0$이므로 중간값 정리에 의해 $h(c) = 0$, 즉 $f(c) = g(c)$인 $c$가 $(a, b)$ 내에 존재한다.
Ex 4. 대척점 정리 (Antipodal Point Theorem)
문제: 원 위에서 연속인 함수 $f$가 있을 때, $f(x) = f(-x)$를 만족하는 점 $x$가 반드시 존재함을 보이시오. (예: 지구상 대척점 중 기온이 같은 곳이 있다)
[보조함수 정의] 각도 $\theta \in [0, \pi]$에 대해 $g(\theta) = f(\theta) - f(\theta + \pi)$라 하자.
[관계식 유도]
$g(0) = f(0) - f(\pi)$
$g(\pi) = f(\pi) - f(2\pi) = f(\pi) - f(0) = -g(0)$ ($\because 2\pi$는 제자리)
[IVT 적용] $g(0)$와 $g(\pi)$는 부호가 반대이거나 둘 다 0이다. 따라서 $g(c) = 0$인 $c \in [0, \pi]$가 존재하며, 이는 $f(c) = f(c+\pi)$임을 의미한다.
Ex 5. 구간 내 분점의 평균값
문제: $f$가 $[a, b]$에서 연속일 때, $f(c) = \frac{f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)}{n}$을 만족하는 $c \in [a, b]$가 존재함을 보이시오. ($x_1, \dots, x_n \in [a, b]$)
[범위 설정] $f$는 컴팩트 구간에서 연속이므로 최솟값 $m$과 최댓값 $M$을 갖는다.
[부등식 구성] 모든 $i$에 대해 $m \le f(x_i) \le M$이므로:
$$m = \frac{nm}{n} \le \frac{\sum f(x_i)}{n} \le \frac{nM}{n} = M$$
[IVT 적용] 값 $A = \frac{\sum f(x_i)}{n}$는 $f$의 치역의 최소/최대값 사이에 존재한다. 연속함수의 치역은 연결 집합(구간)이므로, $f(c) = A$인 $c$가 반드시 존재한다.