균등연속성 실전 판정 및 활용 예제

함수가 균등연속인지 판정할 때는 하이네-칸토어 정리(컴팩트 구간), 립시츠 조건(도함수의 유계성), 혹은 수열 판정법(비균등연속 증명)을 주로 사용합니다.

균등연속 (립시츠)

예제 1. $f(x) = \sin(x^2)$은 구간 $[0, 10]$에서 균등연속임을 보이시오.

[판정] 닫힌 구간 $[0, 10]$은 컴팩트 집합이다. [풀이] $f(x)$는 해당 구간에서 연속이므로 하이네-칸토어 정리에 의해 균등연속이다. 또한, $f'(x) = 2x \cos(x^2)$이고 $|f'(x)| \le 20$으로 유계이므로 립시츠 조건에 의해서도 균등연속임이 자명하다.

비균등연속 (수열 판정)

예제 2. $f(x) = \sin(x^2)$은 구간 $[0, \infty)$에서 균등연속이 아님을 보이시오.

[전략] $|x_n - y_n| \to 0$이지만 $|f(x_n) - f(y_n)| \ge \epsilon$인 두 수열을 찾는다. [수열 설정] $x_n = \sqrt{2n\pi + \frac{\pi}{2}}$, $y_n = \sqrt{2n\pi}$라 하자.

$$|x_n - y_n| = \frac{\pi/2}{\sqrt{2n\pi + \pi/2} + \sqrt{2n\pi}} \to 0 \quad (n \to \infty)$$

[결과] $|f(x_n) - f(y_n)| = |\sin(2n\pi + \pi/2) - \sin(2n\pi)| = |1 - 0| = 1$. 거리는 가까워지는데 함숫값 차이는 줄어들지 않으므로 균등연속이 아니다.

균등연속 (연속 확장)

예제 3. $f(x) = \sqrt{x}$는 구간 $[0, \infty)$에서 균등연속임을 보이시오.

[분할 증명] 구간을 $[0, 1]$과 $[1, \infty)$으로 나눈다.

$[0, 1]$: 컴팩트 구간이므로 연속함수는 균등연속이다.
$[1, \infty)$: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \le \frac{1}{2}$로 도함수가 유계이다. 따라서 립시츠 연속이며 균등연속이다.

[결론] 두 구간의 접합부에서 연속이므로 전체 구간에서 균등연속이다.

비균등연속 (발산)

예제 4. $f(x) = x^2$은 $\mathbb{R}$에서 균등연속이 아님을 보이시오.

[수열 판정] $x_n = n + \frac{1}{n}$, $y_n = n$이라 하자.

$$|x_n - y_n| = \frac{1}{n} \to 0$$ $$|f(x_n) - f(y_n)| = (n^2 + 2 + \frac{1}{n^2}) - n^2 = 2 + \frac{1}{n^2} \to 2$$

$\epsilon = 1$로 잡으면 $|x_n - y_n|$이 아무리 작아져도 함숫값 차이는 2 근처에 머물므로 균등연속 정의에 어긋난다.

균등연속 성질 활용

예제 5. $f$가 $(0, 1]$에서 균등연속이면, $\lim_{x \to 0^+} f(x)$가 존재함을 증명하시오.

[증명 아이디어] 코시 수열(Cauchy sequence)의 보존성을 이용한다.

1. $x_n \to 0$인 임의의 수열 $\{x_n\}$을 잡으면, 이는 코시 수열이다.

2. $f$가 균등연속이므로, 코시 수열 $\{x_n\}$의 이미지 $\{f(x_n)\}$도 코시 수열이 된다.

3. 실수의 완비성에 의해 $\{f(x_n)\}$은 수렴한다. 이 극한값은 수열의 선택에 무관함을 보일 수 있다.

[결론] 따라서 $x=0$에서 연속 확장이 가능하며 극한값이 존재한다.