컴팩트성 활용 증명 예제 (Proofs using Compactness)
컴팩트 집합의 정의(유한 부분 피복의 존재)와 하이네-보렐 정리(유계 폐집합)를 결합하여 연속함수의 핵심 정리들을 증명하는 과정입니다.
Ex 1. 유계성 정리 (Boundedness Theorem)
문제: 컴팩트 집합 $K$ 위에서 연속인 함수 $f: K \to \mathbb{R}$은 유계임을 증명하시오.
[증명] 임의의 $x \in K$에 대하여 $f$는 연속이므로, $B(f(x), 1)$의 역상 $f^{-1}(B(f(x), 1))$은 열린 집합이다.
[피복 구성] $\{f^{-1}(B(f(x), 1)) : x \in K\}$는 $K$의 열린 피복이다.
[컴팩트성 적용] $K$는 컴팩트하므로 유한 부분 피복 $\{f^{-1}(B(f(x_i), 1))\}_{i=1}^n$이 존재한다.
[결론] $K$ 내의 모든 $f(x)$ 값은 $n$개의 유한한 열린 구 안에 포함되므로, $f(K)$는 유계이다.
Ex 2. 최대-최소 정리 (Extreme Value Theorem)
문제: 컴팩트 집합 $K$ 위에서 연속인 함수 $f$는 $K$ 내에서 최댓값과 최솟값을 가짐을 보이시오.
[증명] 예제 1에 의해 $f(K)$는 유계이다. 또한 컴팩트 집합의 연속 이미지는 컴팩트하므로 $f(K)$는 $\mathbb{R}$의 컴팩트 집합이다.
[하이네-보렐 적용] $f(K)$는 유계이고 닫힌 집합이다.
[결론] 실수의 완비성에 의해 $M = \sup f(K)$가 존재하며, $f(K)$가 닫힌 집합이므로 $M \in f(K)$이다. 즉, $f(c) = M$인 $c \in K$가 존재하여 최댓값을 가진다. (최솟값도 동일)
Ex 3. 하이네-칸토어 정리 (Heine-Cantor Theorem)
문제: 컴팩트 집합 $K$에서 연속인 함수 $f$는 $K$에서 평등 연속(Uniformly Continuous)임을 증명하시오.
[증명] 임의의 $\epsilon > 0$에 대해, 각 $x \in K$에서 연속성에 의해 $|x-y| < 2\delta_x \implies |f(x)-f(y)| < \epsilon/2$인 $\delta_x$가 존재한다.
[피복] $\{B(x, \delta_x) : x \in K\}$는 $K$의 열린 피복이며, 컴팩트성에 의해 유한 부분 피복 $\{B(x_i, \delta_i)\}_{i=1}^n$이 존재한다.
[결론] $\delta = \min(\delta_1, \dots, \delta_n)$이라 하면, $K$ 내의 임의의 $x, y$에 대해 $|x-y| < \delta$일 때 $|f(x)-f(y)| < \epsilon$이 성립함을 보일 수 있다.
Ex 4. 칸토어 교집합 정리 (Cantor's Intersection Theorem)
문제: 공집합이 아닌 컴팩트 집합들의 하강 수열 $K_1 \supset K_2 \supset \dots$ 의 교집합 $\bigcap_{n=1}^\infty K_n$은 공집합이 아님을 보이시오.
[증명] 교집합이 공집합이라고 가정하자(귀류법). 그러면 $U_n = K_1 \setminus K_n$은 열린 집합들의 수열이다.
[피복] $\bigcup U_n = K_1 \setminus (\bigcap K_n) = K_1$이므로 $\{U_n\}$은 $K_1$의 열린 피복이다.
[결론] $K_1$이 컴팩트하므로 유한 부분 피복 $U_{n_k}$가 존재해야 하지만, 이는 특정 $K_N$이 공집합이라는 모순을 낳는다. 따라서 교집합은 비어있을 수 없다.
Ex 5. 르베그 수 보조정리 (Lebesgue Number Lemma)
문제: 컴팩트 거리공간 $(K, d)$의 열린 피복 $\mathcal{U}$에 대해, $K$의 임의의 부분집합의 지름이 $\delta$보다 작으면 그 집합은 $\mathcal{U}$의 한 원소에 포함되게 하는 $\delta > 0$이 존재함을 보이시오.
[증명] 피복 $\mathcal{U}$의 각 원소들로부터 점 $x$까지의 거리를 이용해 함수 $f(x) = \sup \{ r > 0 : B(x, r) \subset U \text{ for some } U \in \mathcal{U} \}$를 정의한다.
[결론] 이 함수는 컴팩트 집합 위에서 연속이며 항상 양수이다. 따라서 최솟값 $\delta > 0$을 가지며, 이 $\delta$가 르베그 수가 된다.