실근의 유일성 증명 예제 (Using Rolle's Theorem)
방정식 $f(x)=0$의 실근이 오직 하나임을 증명하려면 두 단계를 거칩니다.
1. 사잇값 정리: 실근이 적어도 하나 존재함을 보임.
2. 롤의 정리: 실근이 두 개라고 가정했을 때 $f'(c)=0$인 점이 생기는데, 이것이 모순임을 보임.
예제 1. 다항방정식 $x^3 + 3x + 1 = 0$ 은 오직 하나의 실근을 가짐을 보이시오.
[존재성] $f(0)=1, f(-1)=-3$이다. $f(x)$는 연속이므로 사잇값 정리에 의해 $(-1, 0)$ 사이에 적어도 하나의 실근이 존재한다.
[유일성] $f(x)=0$이 서로 다른 두 실근 $a, b$를 가진다고 가정하자. 롤의 정리에 의해 $f'(c)=0$인 $c \in (a, b)$가 존재해야 한다. 그러나
$$f'(x) = 3x^2 + 3 > 0 \quad (\text{모든 } x \text{에 대해})$$
$f'(x)$는 결코 $0$이 될 수 없으므로 모순이다. 따라서 실근은 유일하다.
예제 2. 방정식 $x - \cos x = 0$ 의 실근이 유일함을 보이시오.
[존재성] $f(0)=-1, f(\pi)=\pi+1$이다. 연속함수 $f$는 $(0, \pi)$에서 적어도 하나의 실근을 가진다.
[유일성] $f(x)=0$이 두 실근을 가진다고 가정하면 롤의 정리에 의해 $f'(c)=0$인 $c$가 존재해야 한다.
$$f'(x) = 1 + \sin x$$
$\sin x = -1$일 때 $f'(x)=0$이 될 수 있지만, $x$가 구간 $(a, b)$ 내에 존재해야 하며 $f(x)$는 도함수가 0이 되는 점을 제외하면 항상 증가하므로 두 번 만날 수 없다. 엄밀히는 $f'(x) \ge 0$이며 $f'(x)=0$인 점이 고립되어 있으므로 $f$는 엄격한 증가함수이다.
예제 3. $x^5 + x^3 + x - 5 = 0$ 이 오직 하나의 실근을 가짐을 보이시오.
[존재성] $f(1)=-2, f(2)=32+8+2-5=37$이므로 $(1, 2)$ 사이에 근이 존재한다.
[유일성] 두 실근이 존재한다고 가정하면 롤의 정리에 의해 $f'(c)=0$이어야 한다.
$$f'(x) = 5x^4 + 3x^2 + 1$$
$x^4 \ge 0, x^2 \ge 0$이므로 $f'(x) \ge 1$이다. 즉, $f'(x)$는 절대 $0$이 될 수 없으므로 실근은 단 하나뿐이다.
예제 4. $e^x = 1 - x$ 의 실근이 $x=0$ 뿐임을 보이시오.
[확인] $x=0$을 대입하면 $e^0 = 1, 1-0 = 1$이므로 $x=0$은 근이다.
[유일성] $f(x) = e^x + x - 1 = 0$이라 하자. $x=0$ 외에 또 다른 실근 $a$가 존재한다고 가정하면 $[0, a]$(또는 $[a, 0]$)에서 롤의 정리에 의해 $f'(c)=0$인 $c$가 존재해야 한다.
$$f'(x) = e^x + 1$$
$e^x$는 항상 양수이므로 $f'(x) > 1$이다. 따라서 $f'(c)=0$은 불가능하며, $x=0$이 유일한 실근이다.
예제 5. $2x + \sin x = 0$ 의 실근이 $x=0$ 뿐임을 보이시오.
[확인] $f(0) = 0 + \sin 0 = 0$이므로 $0$은 근이다.
[유일성] 또 다른 근 $a \neq 0$이 존재한다고 가정하면, $0$과 $a$ 사이에서 롤의 정리에 의해 $f'(c)=0$인 $c$가 존재해야 한다.
$$f'(x) = 2 + \cos x$$
$\cos x$의 최솟값은 $-1$이므로 $f'(x) \ge 2 - 1 = 1$이다. 도함수가 항상 양수이므로 $0$이 될 수 없고, 따라서 추가적인 실근은 존재하지 않는다.