평균값 정리 (Mean Value Theorem)
평균값 정리는 구간의 평균 변화율과 일치하는 순간 변화율을 갖는 점이 구간 내부에 존재함을 보장합니다. 이는 롤의 정리를 일반화한 형태입니다.
1. 정리의 정의 및 조건
함수 $f$가 다음 두 조건을 만족해야 합니다.
- 닫힌 구간 $[a, b]$에서 연속
- 열린 구간 $(a, b)$에서 미분 가능
이때, 다음 식을 만족하는 $c$가 $(a, b)$ 내에 적어도 하나 존재합니다.
$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$
2. 기하학적 및 물리적 의미
Geometric
평행한 접선
두 끝점 $(a, f(a))$와 $(b, f(b))$를 잇는 할선(secant line)과 평행한 접선이 곡선 위에 적어도 하나 존재함을 의미합니다.
Physical
평균 속도와 순간 속도
어떤 차가 1시간 동안 100km를 달렸다면(평균 속도 100km/h), 주행 도중 속도계가 정확히 100km/h를 가리켰던 순간이 최소한 한 번은 있었다는 뜻입니다.
3. 증명의 핵심 아이디어
평균값 정리는 롤의 정리를 이용하여 증명합니다.
- 할선의 방정식을 $L(x)$라 하고, 보조 함수 $h(x) = f(x) - L(x)$를 정의합니다.
- 이 함수 $h(x)$는 $h(a) = 0$이고 $h(b) = 0$입니다. (양 끝점의 높이가 같음)
- 롤의 정리에 의해 $h'(c) = 0$인 $c$가 존재합니다.
- $h'(c) = f'(c) - L'(c) = 0$이므로, $f'(c)$는 할선의 기울기와 같아집니다.
4. 주요 따름정리 (Corollaries)
1. 상수함수 판정: 모든 $x$에 대해 $f'(x) = 0$이면, $f$는 상수함수입니다.
2. 도함수가 같은 함수: 모든 $x$에 대해 $f'(x) = g'(x)$이면, $f(x) = g(x) + C$입니다.
3. 증가/감소 판정: $f'(x) > 0$이면 $f$는 증가하고, $f'(x) < 0$이면 $f$는 감소합니다.
5. 코시의 평균값 정리 (Generalized MVT)
두 함수 $f, g$에 대하여 매개변수 곡선 형태의 평균값 정리를 적용한 것입니다.
$$\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$$
※ 이 정리는 로피탈의 정리(L'Hôpital's Rule)를 증명하는 근거가 됩니다.