MVT를 이용한 부등식 증명 예제
평균값 정리는 함수값의 차이($\Delta y$)를 도함수($f'$)와 독립변수의 차이($\Delta x$)의 곱으로 변환해줍니다. 이를 통해 함수의 증가 속도를 제어함으로써 부등식을 유도할 수 있습니다.
예제 1. 모든 $a < b$ 에 대해 $|\sin b - \sin a| \le |b - a|$ 임을 증명하시오.
[증명] $f(x) = \sin x$라 하자. $f(x)$는 모든 실수에서 연속이고 미분 가능하다.
[MVT 적용] 구간 $[a, b]$에서 평균값 정리에 의해 다음을 만족하는 $c \in (a, b)$가 존재한다.
$$\frac{\sin b - \sin a}{b - a} = f'(c) = \cos c$$
양변에 절댓값을 취하면:
$$\left| \frac{\sin b - \sin a}{b - a} \right| = |\cos c|$$
모든 $c$에 대해 $|\cos c| \le 1$이므로, $|\sin b - \sin a| \le |b - a|$가 성립한다.
예제 2. $x > 0$ 일 때, $\frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x$ 임을 증명하시오.
[증명] $f(t) = \ln t$라 하고 구간 $[1, 1+x]$에서 MVT를 적용하자.
$$\frac{\ln(1+x) - \ln 1}{(1+x) - 1} = f'(c) = \frac{1}{c} \quad (1 < c < 1+x)$$
정리하면 $\ln(1+x) = \frac{x}{c}$이다.
[범위 평가] $1 < c < 1+x$ 이므로 $\frac{1}{1+x} < \frac{1}{c} < 1$ 이다.
각 변에 $x(>0)$를 곱하면:
$$\frac{x}{1+x} < \frac{x}{c} < x \implies \frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x$$
예제 3. $0 < a < b$ 일 때, $\frac{b-a}{b} < \ln\frac{b}{a} < \frac{b-a}{a}$ 임을 증명하시오.
[증명] $f(x) = \ln x$를 구간 $[a, b]$에서 MVT를 적용한다.
$$\frac{\ln b - \ln a}{b - a} = \frac{1}{c} \quad (a < c < b)$$
$\ln\frac{b}{a} = \frac{b-a}{c}$이다. $a < c < b$ 이므로 $\frac{1}{b} < \frac{1}{c} < \frac{1}{a}$ 이다.
양변에 $b-a(>0)$를 곱하면 원하는 부등식이 도출된다.
예제 4. $x > 0$ 일 때, $e^x > 1 + x$ 임을 증명하시오.
[증명] $f(t) = e^t$라 하고 구간 $[0, x]$에서 MVT를 적용하자.
$$\frac{e^x - e^0}{x - 0} = f'(c) = e^c \quad (0 < c < x)$$
$e^x - 1 = x \cdot e^c$이다. $c > 0$ 이므로 $e^c > e^0 = 1$ 이다.
따라서 $e^x - 1 = x \cdot e^c > x \cdot 1$ 이 되어 $e^x > 1 + x$ 가 성립한다.
예제 5. $b > a > 0$ 일 때, $n a^{n-1}(b-a) < b^n - a^n < n b^{n-1}(b-a)$ 임을 보이시오 ($n > 1$).
[증명] $f(x) = x^n$이라 하면 $f'(x) = nx^{n-1}$이다. 구간 $[a, b]$에서 MVT에 의해:
$$\frac{b^n - a^n}{b - a} = n c^{n-1} \quad (a < c < b)$$
$n>1$이고 $x>0$에서 $f'(x)$는 증가함수이므로, $a < c < b \implies n a^{n-1} < n c^{n-1} < n b^{n-1}$ 이다.
중앙항에 $\frac{b^n - a^n}{b - a}$를 대입하고 $b-a$를 곱하면 증명이 완료된다.