코시의 MVT를 이용한 부등식 증명
분수 형태의 부등식 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$가 주어졌을 때, 이를 도함수의 비 $\frac{f'(c)}{g'(c)}$로 치환하여 범위를 제한하는 것이 핵심 전략입니다.
예제 1. $0 < a < b < \frac{\pi}{2}$ 일 때, $\frac{\sin b - \sin a}{\cos a - \cos b} = \cot c$ 를 만족하는 $c \in (a, b)$가 존재함을 이용해 부등식을 증명하시오.
[전략] $f(x) = \sin x, g(x) = \cos x$로 설정한다.
[코시 MVT 적용] $[a, b]$에서 다음을 만족하는 $c$가 존재한다.
$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{\sin b - \sin a}{\cos b - \cos a} = \frac{\cos c}{-\sin c} = -\cot c$$
식의 순서를 바꾸면 $\frac{\sin b - \sin a}{\cos a - \cos b} = \cot c$가 된다.
[부등식 유도] $0 < a < c < b < \pi/2$에서 $\cot x$는 감소함수이므로:
$$\cot b < \frac{\sin b - \sin a}{\cos a - \cos b} < \cot a$$
예제 2. $0 < a < b$ 일 때, $\frac{e^b - e^a}{\ln b - \ln a}$ 의 범위를 구하시오.
[설정] $f(x) = e^x, g(x) = \ln x$라 하자.
[코시 MVT 적용]
$$\frac{e^b - e^a}{\ln b - \ln a} = \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{e^c}{1/c} = c e^c \quad (a < c < b)$$
[결론] $h(x) = x e^x$는 $x > 0$에서 증가함수이므로:
$$a e^a < \frac{e^b - e^a}{\ln b - \ln a} < b e^b$$
예제 3. $0 < x < 1$ 일 때, $\frac{\sin x}{x} > \cos x$ 임을 코시 MVT로 보이시오.
[변형] 증명할 식은 $\frac{\sin x - \sin 0}{x - 0} > \cos x$이다.
[코시 MVT 적용] $f(t) = \sin t, g(t) = t$에 대해 $[0, x]$에서 적용하면:
$$\frac{\sin x - 0}{x - 0} = \frac{\cos c}{1} = \cos c \quad (0 < c < x)$$
구간 $(0, 1)$에서 $\cos t$는 감소함수이므로, $c < x$이면 $\cos c > \cos x$이다.
$$\therefore \frac{\sin x}{x} > \cos x$$
예제 4. $0 < a < b < 1$ 일 때, $\frac{\arcsin b - \arcsin a}{\frac{1}{\sqrt{1-a^2}} - \frac{1}{\sqrt{1-b^2}}}$ 의 부호를 판별하시오.
[설정] $f(x) = \arcsin x, g(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$라 하자.
$$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad g'(x) = \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}$$
[코시 MVT 적용]
$$\frac{\Delta f}{\Delta g} = \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{1/\sqrt{1-c^2}}{c/(1-c^2)^{3/2}} = \frac{1-c^2}{c} > 0 \quad (\because 0 < c < 1)$$
따라서 분자와 분모의 부호는 항상 같다.
예제 5. $x > 0$ 일 때, $\frac{1 - \cos x}{x^2} < \frac{1}{2}$ 임을 보이시오.
[설정] $f(t) = 1 - \cos t, g(t) = t^2$라 하고 $[0, x]$에서 적용한다.
$$\frac{(1-\cos x) - (1-\cos 0)}{x^2 - 0^2} = \frac{\sin c}{2c} = \frac{1}{2} \left( \frac{\sin c}{c} \right)$$
[평가] 모든 $c > 0$에 대해 $\sin c < c$이므로 $\frac{\sin c}{c} < 1$이다.
$$\therefore \frac{1 - \cos x}{x^2} < \frac{1}{2}$$