로피탈의 정리 실전 예제 (Indeterminate Forms)
로피탈의 정리는 $\frac{0}{0}$ 또는 $\frac{\infty}{\infty}$ 꼴에서 직접 적용 가능하며, 그 외의 부정형($0 \cdot \infty, \infty - \infty, 1^\infty$ 등)은 적절한 변형을 통해 분수 형태로 만들어야 합니다.
유형 1. 기본형 (0/0)
예제 1. $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$ 의 값을 구하시오.
[판정] $x \to 0$일 때 분자 $\to 0$, 분모 $\to 0$이므로 로피탈 적용 가능.
$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} \overset{L'H}{=} \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x}$$
[재판정] 여전히 $0/0$ 꼴이므로 한 번 더 미분한다.
$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} \overset{L'H}{=} \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$$
유형 2. 무한대 비율 (∞/∞)
예제 2. $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{\sqrt[n]{x}}$ (단, $n > 0$) 의 값을 구하시오.
[판정] $x \to \infty$일 때 $\infty/\infty$ 꼴이다.
$$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^{1/n}} \overset{L'H}{=} \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{n}{x^{1/n}}$$
[결과] 분모가 무한히 커지므로 극한값은 **0**이다. (다항함수가 로그함수보다 빠르게 증가함을 증명)
유형 3. 곱셈 부정형 (0 · ∞)
예제 3. $\lim_{x \to 0^+} x \ln x$ 의 값을 구하시오.
[변형] 곱셈을 분수 형태로 바꾼다: $x \ln x = \frac{\ln x}{1/x}$ ($\infty/\infty$ 꼴 유도).
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} \overset{L'H}{=} \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$$
유형 4. 뺄셈 부정형 (∞ - ∞)
예제 4. $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} \right)$ 의 값을 구하시오.
[변형] 통분을 통해 하나의 분수로 합친다.
$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x(e^x - 1)}$$
[풀이] 분모의 $e^x - 1 \approx x$ 근사를 이용하거나 로피탈을 두 번 적용하면 예제 1과 유사한 과정을 거쳐 **1/2** 임을 알 수 있다.
유형 5. 지수 부정형 (1^∞, 0^0, ∞^0)
예제 5. $\lim_{x \to 0^+} (1+x)^{1/x}$ 의 값을 구하시오.
[전략] $y = (1+x)^{1/x}$라 하고 양변에 자연로그를 취한다.
$$\ln y = \frac{\ln(1+x)}{x}$$
[로피탈 적용] $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}$는 $0/0$ 꼴이므로:
$$\lim_{x \to 0} \frac{1/(1+x)}{1} = 1$$
[결론] $\ln y \to 1$이므로 $y \to e^1$. 따라서 극한값은 **e**이다.