로피탈의 정리: 삼각함수 실전 예제
삼각함수가 포함된 극한은 미분 시 부호($\pm$) 변화와 계수 처리에 유의해야 합니다. 특히 탄젠트($\tan x$)나 역삼각함수가 포함된 경우 미분 공식이 복잡해지므로 신중한 계산이 필요합니다.
Ex 1. 고계 미분형 (0/0)
예제 1. $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$ 의 값을 구하시오.
[풀이] $0/0$ 꼴이므로 로피탈을 반복 적용한다.
$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} \overset{L'H}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} \overset{L'H}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6}$$
※ 이 결과는 $\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}$ 이라는 테일러 전개의 계수와 일치합니다.
Ex 2. 탄젠트 부정형 (0/0)
예제 2. $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x - \sin x}$ 의 값을 구하시오.
[풀이] $0/0$ 꼴이다. $\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x$ 임을 이용한다.
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sec^2 x - 1}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\tan^2 x}{1 - \cos x}$$
[팁] 여기서 $\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{\cos^2 x}$ 로 변형하면 로피탈 없이도 해결 가능하다.
$$\lim_{x \to 0} \frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{\cos^2 x(1-\cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1+\cos x}{\cos^2 x} = \frac{2}{1} = 2$$
Ex 3. 치환과 로피탈 (0 · ∞)
예제 3. $\lim_{x \to \infty} x \sin(\frac{1}{x})$ 의 값을 구하시오.
[변형] $t = 1/x$ 로 치환하면 $x \to \infty$ 일 때 $t \to 0^+$ 이다.
$$\lim_{t \to 0^+} \frac{\sin t}{t}$$
[풀이] $0/0$ 꼴이므로 로피탈을 적용하면:
$$\lim_{t \to 0^+} \frac{\cos t}{1} = 1$$
Ex 4. 역삼각함수 포함 (0/0)
예제 4. $\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x - x}{x^3}$ 의 값을 구하시오.
[풀이] $\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 이다.
$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - 1}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{3x^2\sqrt{1-x^2}}$$
[재판정] 분자를 유리화하거나 로피탈을 다시 적용하면 극한값은 **1/6** 이 된다.
Ex 5. 지수-삼각 복합형 (1^∞)
예제 5. $\lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2}$ 의 값을 구하시오.
[전략] $y = (\cos x)^{1/x^2}$ 에 로그를 취한다. $\ln y = \frac{\ln(\cos x)}{x^2}$.
[로피탈 적용] $0/0$ 꼴이다.
$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos x}(-\sin x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\tan x}{2x} \overset{L'H}{=} \lim_{x \to 0} \frac{-\sec^2 x}{2} = -\frac{1}{2}$$
[결론] $\ln y \to -1/2$ 이므로 $y \to e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$ 이다.