리만 적분의 정의 (Riemann Integral)
리만 적분은 유계인 폐구간 $[a, b]$에서 정의된 함수 $f$에 대하여, 구간의 분할(Partition)과 표본점(Sample points)의 선택에 따른 합의 극한으로 정의됩니다.
1. 분할과 리만 합 (Partition & Riemann Sum)
구간 $[a, b]$의 분할 $P$를 $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$라 하고, 각 소구간 $[x_{i-1}, x_i]$에서 임의의 점 $x_i^*$를 선택합니다.
리만 합 (Riemann Sum)
$$S(f, P, x_i^*) = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x_i \quad (\Delta x_i = x_i - x_{i-1})$$
이때 분할의 크기(Norm) $\|P\|$는 소구간들 중 가장 긴 길이를 의미합니다: $\|P\| = \max(\Delta x_i)$.
2. 정적분의 엄밀한 정의
모든 $\epsilon > 0$에 대하여 적절한 $\delta > 0$가 존재하여, $\|P\| < \delta$를 만족하는 임의의 분할 $P$와 임의의 표본점 $x_i^*$에 대해 다음이 성립할 때 $f$는 $[a, b]$에서 리만 적분 가능하다고 합니다.
$$\left| \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x_i - I \right| < \epsilon$$
이 극한값 $I$를 $I = \int_a^b f(x) dx$라고 씁니다.
3. 다르부 상적분과 하적분 (Darboux Integrals)
리만 합의 극한을 계산하기 어려운 경우, 함수의 상한($M_i$)과 하한($m_i$)을 이용한 다르부 합을 통해 가적분성을 판정합니다.
- 상적분: 모든 분할에 대한 상합($U(f, P)$)의 하한
$$\overline{\int_a^b} f(x) dx = \inf \{ U(f, P) \mid P \text{ is a partition} \}$$
- 하적분: 모든 분할에 대한 하합($L(f, P)$)의 상한
$$\underline{\int_a^b} f(x) dx = \sup \{ L(f, P) \mid P \text{ is a partition} \}$$
핵심: 상적분과 하적분이 일치할 때에만 리만 적분이 정의됩니다.
4. 리만 적분 가능성의 성질
- 선형성: $\int (af + bg) = a\int f + b\int g$
- 구간 가법성: $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$
- 단조성: $f \le g$ 이면 $\int f \le \int g$