토매 함수 (Thomae's Function)
팝콘 함수(Popcorn function) 또는 별자리 함수라고도 불리는 토매 함수는 무리수에서는 연속이지만 모든 유리수에서는 불연속인 함수입니다. 디리클레 함수와 달리 이 함수는 리만 적분이 가능합니다.
1. 함수의 정의
구간 $(0, 1]$ 위에서 정의되는 토매 함수 $f(x)$는 다음과 같이 정의됩니다.
$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{q} & \text{if } x = \frac{p}{q} \in \mathbb{Q} \text{ (기약분수, } q>0) \\ 0 & \text{if } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \text{ (무리수)} \end{cases}$$
2. 불연속성과 연속성
유리수에서의 불연속 ($x \in \mathbb{Q}$)
어떤 유리수 $a$에 대해 $f(a) = 1/q > 0$이지만, $a$ 근처에는 항상 $f(x)=0$인 무리수가 조밀하게 존재하므로 극한값과 함숫값이 달라 불연속입니다.
무리수에서의 연속 ($x \notin \mathbb{Q}$)
무리수 $x$ 근처에서 분모 $q$가 작은 유리수의 개수는 유한합니다. 따라서 $x$에 충분히 가까이 다가가면 모든 유리수의 함숫값 $1/q$를 임의의 $\epsilon$보다 작게 만들 수 있어 연속이 됩니다.
3. 리만 가적분성의 증명
디리클레 함수는 상합과 하합의 차이를 줄일 수 없었지만, 토매 함수는 가능합니다.
Proof Sketch
- 임의의 $\epsilon > 0$에 대해, $f(x) \ge \epsilon/2$를 만족하는 $x$는 분모가 $2/\epsilon$ 이하인 유리수들뿐이며, 이는 유한개입니다.
- 이 유한개의 점들을 아주 좁은 폭의 구간들로 덮어 상합에 기여하는 크기를 $\epsilon/2$ 미만으로 조절합니다.
- 나머지 영역에서는 $f(x) < \epsilon/2$이므로 전체 상합 $U(f, P)$을 $\epsilon$보다 작게 만들 수 있습니다.
- 하합 $L(f, P)$은 무리수의 존재로 항상 0이므로, 상합과 하합의 차를 임의로 줄일 수 있어 리만 적분 가능합니다.
$$\int_0^1 f(x) dx = 0$$
4. 르베그의 조건과 결론
르베그의 가적분성 정리에 따르면, 유계 함수가 리만 가적분일 조건은 불연속점 집합의 측도가 0인 것입니다.
- 토매 함수의 불연속점 집합은 유리수 집합($\mathbb{Q}$)입니다.
- 유리수 집합은 가산 집합이므로 측도가 0입니다.
- 따라서 토매 함수는 리만 적분이 가능하며 그 값은 0입니다.