미적분의 기본정리 (FTC) 엄밀 증명

미적분의 기본정리는 해석학의 정수입니다. 여기서는 연속함수의 성질과 적분의 평균값 정리를 활용하여 두 정리의 정당성을 수학적으로 완벽히 증명합니다.

1. 제1정리 (FTC 1)의 증명

정리: $f$가 $[a, b]$에서 연속이고 $g(x) = \int_a^x f(t) dt$이면, $g'(x) = f(x)$이다.

Step 1. 미분의 정의에 따라 $g'(x)$를 극한으로 표현합니다.

$$g'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left( \int_a^{x+h} f(t) dt - \int_a^x f(t) dt \right)$$

Step 2. 적분의 성질을 이용하여 식을 정리합니다.

$$g'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t) dt$$

Step 3. 적분의 평균값 정리에 의해 $x$와 $x+h$ 사이에 다음을 만족하는 $c$가 존재합니다.

$$\int_x^{x+h} f(t) dt = f(c) \cdot h \implies \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t) dt = f(c)$$

Step 4. $h \to 0$일 때, 샌드위치 정리에 의해 $c \to x$가 됩니다. $f$가 연속이므로 다음이 성립합니다.

$$g'(x) = \lim_{c \to x} f(c) = f(x) \quad \text{■}$$

정리: $f$가 $[a, b]$에서 연속이고 $F$가 $f$의 임의의 원시함수이면, $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$이다.

Step 1. 구간 $[a, b]$를 $n$개의 소구간으로 분할합니다 ($x_0, x_1, \dots, x_n$).

Step 2. 함숫값의 차이 $F(b) - F(a)$를 다음과 같이 급수 형태로 나타냅니다.

$$F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n [F(x_i) - F(x_{i-1})]$$

Step 3. 각 소구간 $[x_{i-1}, x_i]$에서 평균값 정리(MVT)를 적용합니다.

$$F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(c_i)(x_i - x_{i-1}) = f(c_i) \Delta x_i$$

Step 4. 이를 위 급수에 대입하면 리만 합(Riemann Sum)의 형태가 됩니다.

$$F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n f(c_i) \Delta x_i$$

Step 5. $n \to \infty$ ($ \Delta x \to 0$) 극한을 취하면 정적분의 정의에 의해 다음과 같습니다.

$$F(b) - F(a) = \int_a^b f(x) dx \quad \text{■}$$