급수 수렴 판정법 (Convergence Tests)

양항 급수($a_n \ge 0$)의 수렴 여부를 판단하기 위해 이미 알고 있는 급수와 비교하거나, 항 사이의 비율을 관찰합니다. 이 도구들은 복잡한 급수의 행동을 단순화하여 파악하게 해줍니다.

Comparison Test

1. 비교 판정법

수렴 또는 발산을 이미 알고 있는 벤치마크 급수($p$-급수, 기하급수 등)와 크기를 직접 비교합니다.

$$\text{1. } 0 \le a_n \le b_n \text{ 이고 } \sum b_n \text{ 이 수렴하면 } \sum a_n \text{ 도 수렴}$$ $$\text{2. } 0 \le b_n \le a_n \text{ 이고 } \sum b_n \text{ 이 발산하면 } \sum a_n \text{ 도 발산}$$

극한 비교 판정법 (LCT)

두 급수의 일반항 비율의 극한을 봅니다.

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c \quad (0 < c < \infty)$$

위 조건 만족 시 $\sum a_n$과 $\sum b_n$은 운명을 같이 합니다 (둘 다 수렴하거나 둘 다 발산).

Ratio Test

2. 비 판정법 (D'Alembert)

이웃한 두 항의 비율이 극한에서 어떻게 변하는지 관찰합니다. 특히 팩토리얼($n!$)이나 지수($a^n$)가 포함된 급수에 매우 강력합니다.

$$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$$

판정 결과

$L < 1$: 절대 수렴
$L > 1$: 발산
$L = 1$: 판정 불능 (다른 판정법 필요)

판정 도구 선택 가이드

어떤 판정법을 쓸지 고민될 때는 다음 순서를 따르세요.

발산 판정법: $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$ 인가? 그렇다면 즉시 발산!
비 판정법: $n!$이나 $a^n$ 꼴이 있는가?
비교/극한 비교 판정법: 다항식의 분수 꼴인가? ($p$-급수와 비교)
적분 판정법: $f(x)$로 치환했을 때 적분이 쉬운 꼴인가? (예: $1/(n \ln n)$)

자주 쓰이는 비교 대상 ($p$-급수)

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \implies \begin{cases} p > 1 & \text{수렴} \\ p \le 1 & \text{발산} \end{cases}$$

※ 특히 $p=1$인 조화급수는 매우 천천히 증가하지만 결국 발산한다는 점을 잊지 마세요!