절대 수렴과 조건 수렴 (Absolute & Conditional Convergence)
무한급수 $\sum a_n$의 수렴성을 논할 때, 각 항에 절댓값을 씌운 급수 $\sum |a_n|$의 수렴 여부에 따라 성질이 완전히 달라집니다. 특히 절대 수렴은 유한한 합의 성질을 무한으로 확장할 수 있게 해주는 강력한 보증 수표입니다.
Absolute Convergence
1. 절대 수렴
급수의 각 항에 절댓값을 취한 급수 $\sum |a_n|$이 수렴하는 경우를 말합니다.
$$\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| \text{ 이 수렴함}$$
핵심 성질
- 정리: 절대 수렴하는 급수는 원래 급수 $\sum a_n$도 반드시 수렴합니다.
- 재배열 가능: 항의 순서를 어떻게 바꾸어도 합의 결과가 일정합니다.
- 양항 급수 판정법(비 판정법, 적분 판정법 등)을 그대로 적용할 수 있습니다.
Conditional Convergence
2. 조건 수렴
원래 급수 $\sum a_n$은 수렴하지만, 절댓값을 취한 급수 $\sum |a_n|$은 발산하는 경우입니다.
$$\sum a_n \text{ 은 수렴, } \sum |a_n| = \infty$$
대표적 예시: 교대조화급수
$\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \dots$ 은 수렴(ln 2)하지만, 절댓값을 씌운 조화급수는 발산합니다.
- 부호의 상쇄 효과 덕분에 간신히 수렴을 유지하는 불안정한 상태입니다.
리만 재배열 정리 (Riemann Rearrangement Theorem)
조건 수렴하는 급수는 매우 기묘한 성질을 가집니다. 항의 순서를 적절히 재배열하면
우리가 원하는 어떤 실수값으로도 수렴하게 만들 수 있으며, 심지어 발산하게 만들 수도 있습니다.
※ 반면, 절대 수렴하는 급수는 순서에 상관없이 합이 보존되므로 '안전한' 급수라고 할 수 있습니다.
판정 로드맵
- 먼저 $\sum |a_n|$에 대해 양항급수 판정법을 적용합니다.
- 수렴한다면? 절대 수렴으로 결론 (종료).
- $\sum |a_n|$이 발산한다면? 원래 급수 $\sum a_n$에 대해 교대급수 판정법(AST) 등을 적용합니다.
- 원래 급수만 수렴한다면? 조건 수렴으로 결론.