멱급수와 수렴 반지름 (Power Series & Convergence)
멱급수는 변수 $x$의 거듭제곱을 항으로 갖는 무한급수입니다. 모든 $x$에 대해 수렴하는 것이 아니기에, 급수가 '함수'로서 의미를 갖는 유효 범위인 수렴 구간을 찾는 것이 핵심입니다.
Definition of Power Series
1. 멱급수의 형태
상수 $a$를 중심으로 하는 멱급수는 다음과 같은 꼴을 가집니다.
$$\sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \dots$$
수렴의 세 가지 가능성
- Case 1: 오직 $x=a$에서만 수렴 ($R=0$)
- Case 2: 모든 실수 $x$에 대해 수렴 ($R=\infty$)
- Case 3: 특정 거리 $R$ 이내에서만 수렴 ($|x-a| < R$)
Radius of Convergence
2. 수렴 반지름과 구간
급수가 수렴하는 최대 반경 $R$을 결정합니다. 주로 비 판정법(Ratio Test)을 사용하여 $x$의 범위를 도출합니다.
$$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n(x-a)^n} \right| < 1$$
수렴 구간 (Interval) 결정법
- 먼저 비 판정법으로 개구간 $(a-R, a+R)$을 구합니다.
- 중요: 양 끝점($x=a-R, a+R$)에서의 수렴성은 각각 따로 대입하여 판정해야 합니다.
수렴 반지름 계산 공식
비 판정법을 일반화하면 수렴 반지름 $R$은 다음과 같이 표현될 수 있습니다 (계수 $c_n$이 0이 아닐 때).
$$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right| \quad \text{또는} \quad R = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{|c_n|}}$$
멱급수의 성질 (미분과 적분)
- 항별 미분: 수렴 반지름 내부에서 멱급수를 미분해도 수렴 반지름은 변하지 않습니다.
- 항별 적분: 수렴 반지름 내부에서 멱급수를 적분해도 수렴 반지름은 변하지 않습니다.
- 주의: 미분이나 적분 후 양 끝점에서의 수렴 여부는 달라질 수 있습니다.