다변수 함수의 극한과 연속 (Limits & Continuity)
일변수 함수와 달리 다변수 함수에서는 한 점으로 접근하는 경로가 무수히 많습니다. 극한이 존재하기 위해서는 어떤 경로로 접근하더라도 동일한 값으로 수렴해야 합니다.
Limit of Functions
1. 다변수 함수의 극한
점 $(x, y)$가 $(a, b)$에 접근할 때, 거리 $\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2}$가 0으로 갈 때의 함숫값을 관찰합니다.
$$\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x, y) = L$$
핵심 전략: 극한이 존재하지 않음을 증명
- 서로 다른 경로: $x$축($y=0$), $y$축($x=0$), 혹은 직선($y=mx$) 경로를 따라 계산한 극한값이 다르면 극한은 존재하지 않습니다.
- 고차 경로: 직선 경로에서 같더라도 포물선($y=x^2$) 경로에서 다를 수 있으므로 주의해야 합니다.
Continuity
2. 다변수 함수의 연속
함수 $f$가 점 $(a, b)$에서 연속이려면 다음 세 조건을 모두 만족해야 합니다.
$$\text{1. } f(a, b) \text{ 가 정의됨}$$
$$\text{2. } \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x, y) \text{ 가 존재함}$$
$$\text{3. } \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x, y) = f(a, b)$$
연속함수의 성질
- 다항함수, 유리함수(분모 $\neq 0$), 삼각함수 등은 그 정의역 내에서 항상 연속입니다.
- 연속함수끼리의 합, 차, 곱, 합성 함수 역시 연속입니다.
심화 개념: 입실론-델타 논법 ($\epsilon-\delta$)
다변수 극한의 엄밀한 정의는 다음과 같습니다: 모든 $\epsilon > 0$에 대하여,
$0 < \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} < \delta$ 이면 $|f(x,y) - L| < \epsilon$ 을 만족하는 $\delta > 0$가 존재한다.
※ 실제 계산 시에는 샌드위치 정리나 극좌표 변환($x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$)을 사용하여 극한의 존재를 증명하는 경우가 많습니다.
주의: 일변수 함수처럼 단순히 좌극한과 우극한만 비교해서는 안 됩니다. 평면상에서는 "무한한 방향"이 존재하기 때문입니다.