편미분과 전미분 (Partial & Total Derivatives)
다변수 함수 $f(x, y)$에서 변수의 변화가 결과값에 미치는 영향을 분석합니다. 편미분은 특정 축 방향의 변화율을, 전미분은 모든 변수의 미소 변화에 의한 전체 함숫값의 변화량(선형 근사)을 나타냅니다.
Partial Derivative
1. 편미분
다른 변수를 상수로 고정하고, 오직 하나의 변수 $x$에 대해서만 미분합니다. 기호로 $\partial$ (라운드)를 사용합니다.
$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$$
기하학적 의미
- 곡면을 $y = y_0$ 평면으로 잘랐을 때 나타나는 곡선의 접선 기울기입니다.
- 각 독립 변수가 결과값에 기여하는 개별적인 '민감도'를 뜻합니다.
Total Differential
2. 전미분
모든 변수가 각각 $dx, dy$만큼 미세하게 변할 때, 함숫값 $z=f(x,y)$의 실제 변화량 $\Delta z$를 선형적으로 근사한 값입니다.
$$df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$$
활용성
- 선형 근사(Linearization): 복잡한 함수값을 접평면을 이용해 간단히 예측합니다.
- 오차 분석: 각 변수의 측정 오차가 전체 결과값의 최대 오차에 미치는 영향을 계산합니다.
고급 개념: 연쇄 법칙 (Chain Rule)
만약 $z = f(x, y)$이고 $x=g(t), y=h(t)$라면, $z$의 $t$에 대한 변화율은 각 편미분 성분의 합으로 나타납니다.
$$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$
요점 비교
- 편미분: "하나만 바뀔 때 어떻게 되는가?" (축 방향의 기울기)
- 전미분: "모두가 조금씩 바뀔 때 전체는 어떻게 되는가?" (접평면의 높이 변화)
- 미분 가능성: $f_x, f_y$가 존재한다고 해서 반드시 미분 가능한 것은 아니며, 전미분이 적절히 정의되어야 함수가 그 점에서 부드럽다(Differentiable)고 합니다.