그래디언트와 방향도함수 (Gradient & Directional Derivatives)
다변수 함수 $f(x, y, z)$가 특정 방향으로 얼마나 빠르게 변하는지 측정합니다. 그래디언트는 함수값이 가장 가파르게 증가하는 방향을 가리키는 벡터이며, 방향도함수는 임의의 단위 벡터 방향으로의 변화율입니다.
Gradient Vector
1. 그래디언트 (勾配)
함수 $f$의 모든 편미분 성분을 원소로 갖는 벡터장입니다. 기호로는 $\nabla f$ (델 에프)라고 읽습니다.
$$\nabla f(x, y) = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle$$
주요 성질
- 함수값이 가장 급격히 증가하는 방향을 가리킵니다.
- 그래디언트의 크기 $|\nabla f|$는 그 최대 변화율입니다.
- 등위 곡선(Level Curves) 또는 등위 면에 대해 항상 수직(Normal)입니다.
Directional Derivative
2. 방향도함수
점 $(x_0, y_0)$에서 단위 벡터 $\mathbf{u} = \langle a, b \rangle$ 방향으로의 변화율을 계산합니다.
$$D_{\mathbf{u}}f(x, y) = \nabla f(x, y) \cdot \mathbf{u}$$
해석적 의미
- 편미분 $f_x, f_y$는 각각 $x$축, $y$축 방향으로의 특수한 방향도함수입니다.
- $\nabla f$와 $\mathbf{u}$ 사이의 각도를 $\theta$라 할 때, $D_{\mathbf{u}}f = |\nabla f| \cos \theta$가 성립합니다.
기하학적 응용: 접평면 (Tangent Plane)
곡면 $F(x, y, z) = k$ 위의 점 $P_0(x_0, y_0, z_0)$에서의
접평면 방정식은 그래디언트 벡터를 법선 벡터로 사용하여 다음과 같이 구합니다.
$$F_x(P_0)(x-x_0) + F_y(P_0)(y-y_0) + F_z(P_0)(z-z_0) = 0$$
요점 정리
- 최대 증가율: $\mathbf{u}$가 $\nabla f$와 같은 방향일 때 ($D_{\mathbf{u}}f = |\nabla f|$)
- 최대 감소율: $\mathbf{u}$가 $\nabla f$와 반대 방향일 때 ($D_{\mathbf{u}}f = -|\nabla f|$)
- 변화 없음: $\mathbf{u}$가 $\nabla f$와 수직일 때 ($D_{\mathbf{u}}f = 0$, 즉 등위선을 따라 이동할 때)