다중 적분 (Multiple Integrals)

적분 영역을 평면(Region)과 공간(Solid)으로 확장합니다. 푸비니 정리(Fubini's Theorem)를 통해 다중 적분을 반복 적분(Iterated Integral)으로 변환하여 계산하는 것이 핵심입니다.

Double Integral

1. 이중적분

평면 영역 $D$ 위에서 함수 $f(x, y)$를 적분합니다. 주로 곡면 아래의 부피를 구하는 데 사용됩니다.

$$\iint_D f(x,y) dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) dy dx$$

원형 영역인 경우 $x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$를 대입합니다.

$$\iint_D f(x,y) dA = \iint_R f(r\cos\theta, r\sin\theta) \mathbf{r} dr d\theta$$

Triple Integral

공간 영역 $E$ 위에서 함수 $f(x, y, z)$를 적분합니다. 질량이나 입체의 부피(함수가 1인 경우)를 구합니다.

$$\iiint_E f(x,y,z) dV = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)} f dz dy dx$$

원주좌표계: $(r, \theta, z)$ 사용, $dV = r dz dr d\theta$
구면좌표계: $(\rho, \phi, \theta)$ 사용, $dV = \rho^2 \sin\phi d\rho d\phi d\theta$

다중 적분에서 변수 변환을 할 때, 영역의 왜곡을 보정해주는 비율을 야코비안이라고 합니다.

$$dA = \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| du dv$$

극좌표에서의 $r$, 구면좌표에서의 $\rho^2\sin\phi$가 바로 이 야코비안 성분입니다.