선적분과 면적분 (Line & Surface Integrals)
적분 기호 아래의 영역이 단순한 구간이나 평면이 아닌, 곡선(Curve)이나 곡면(Surface)으로 확장됩니다. 벡터장 내에서의 에너지 변화와 흐름을 정량화하는 미적분학의 핵심 단계입니다.
Line Integral
1. 선적분
곡선 $C$를 따라 함수 또는 벡터장을 적분합니다. 매개변수화 $\mathbf{r}(t)$가 필수적입니다.
스칼라 함수의 선적분
$$\int_C f ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)| dt$$
벡터장의 선적분 (일, Work)
$$\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) dt$$
의미: 입자가 경로 $C$를 따라 이동할 때 벡터장 $\mathbf{F}$가 해준 총 일의 양.
Surface Integral
2. 면적분
3차원 공간의 곡면 $S$ 위에서 적분합니다. 곡면의 매개변수 표현 $\mathbf{r}(u, v)$을 사용합니다.
스칼라 함수의 면적분
$$\iint_S f dS = \iint_D f(\mathbf{r}(u,v)) |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| dA$$
벡터장의 면적분 (유속, Flux)
$$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint_S (\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}) dS$$
의미: 단위 시간당 곡면 $S$를 통과하는 유체나 전기력선의 총량(알짜 흐름).
주요 비교 포인트
- 미소 요소($d\mathbf{r}$ vs $d\mathbf{S}$): 선적분은 경로의 방향 벡터를, 면적분은 곡면의 법선(Normal) 벡터를 곱합니다.
- 경로 독립성: 보존력장($\mathbf{F} = \nabla \phi$)에서의 선적분은 양 끝점에만 의존합니다.
- 방향성(Orientation): 선적분은 경로의 진행 방향이, 면적분은 '앞면/뒷면(법선 방향)'의 정의가 결과의 부호를 결정합니다.