최대값(Maximum)과 최소값(Minimum)은 집합 안에 존재해야 한다는 제약이 있습니다.
하지만 미적분학에서 다루는 많은 집합(예: 열린 구간)은 끝점을 포함하지 않습니다.
이러한 한계를 극복하기 위해 도입된 개념이 바로 상한(Least Upper Bound)과 하한(Greatest Lower Bound)입니다.
1. 개념 기반 목표 지향 수업 지도안
수업 목표 1 유계 집합에 대하여 상한(Sup)과 하한(Inf)을 엄밀한 부등식으로 정의할 수 있다.
수업 목표 2 상한과 최대값, 하한과 최소값의 차이를 반례를 통해 설명할 수 있다.
수업 목표 3 임의의 양수 $\epsilon$을 이용한 상한의 논리적 판정법을 익힌다.
수업 목표 4 집합의 연산(합, 실수배)에 따른 상한·하한의 성질을 증명할 수 있다.
수업 흐름
도입 : "구간 $(0, 1)$에서 가장 큰 수는 무엇인가?"라는 질문을 통해 최대값이 존재하지 않는 상황을 제시한다.
탐구 1 : 상계(Upper Bound) 집합을 정의하고, 그 중 최소원소로서의 상한을 정의한다.
탐구 2 : 상한의 $\epsilon$-논법: "상한보다 조금이라도 작은 값은 상계가 될 수 없다"는 논리를 분석한다.
정리 : 주요 집합들(구간, 수열의 집합)의 상한과 하한을 직접 계산한다.
확장 : 완비성 공리와 연결하여 실수의 연속적인 성질이 상한의 존재를 보장함을 상기한다.
2. 개념 상세 설명
개념 1. 상한(Supremum)의 엄밀한 정의
실수 집합의 부분집합 $S$에 대하여 다음 두 조건을 만족하는 실수 $s$를 $S$의 상한이라 하고 $s = \sup S$라 쓴다.
1. (상계 조건) $\forall x \in S, x \le s$
2. (최소성 조건) $s' < s$ 이면, $x > s'$ 인 $x \in S$ 가 존재한다.
두 번째 조건은 "어떠한 $s$보다 작은 값도 $S$의 상계가 될 수 없다"는 뜻입니다.
개념 2. $\epsilon$을 이용한 판정법 (필수 암기)
실제 증명에서는 다음 형식을 가장 많이 사용합니다.
$$s = \sup S \iff \begin{cases} (1) \,\, \forall x \in S, x \le s \\ (2) \,\, \forall \epsilon > 0, \exists x \in S \text{ s.t. } x > s - \epsilon \end{cases}$$
이는 상한 $s$에서 아주 미세한 $\epsilon$만큼만 왼쪽으로 가도, 그 사이($s-\epsilon$과 $s$ 사이)에 집합 $S$의 원소가 반드시 존재함을 의미합니다.
개념 3. 상한 vs 최대값
최대값($\max$): 상한이면서 동시에 집합의 원소인 경우 ($\sup S \in S$).
상한($\sup$): 집합에 포함되지 않아도 존재할 수 있음 (예: $\sup(0, 1) = 1$).
3. 시각화 자료
시각화 1. 상한의 ε-접근성
상한 $s$에서 $\epsilon$만큼 내려온 지점보다 큰 집합 원소 $x$가 반드시 존재해야 합니다.
시각화 2. 하한(Infimum)
하한은 집합을 아래에서 받쳐주는 가장 큰 값입니다.
$\inf S = -\sup(-S)$ 의 관계가 성립합니다.
4. 각각의 개념 예시 문제
집합 $S$
상한 ($\sup S$)
하한 ($\inf S$)
설명
$\{x \in \mathbb{R} \mid 2 < x \le 5\}$
5
2
$\max=5$ 존재, $\min$ 없음
$\{\frac{n-1}{n} \mid n \in \mathbb{N} \}$
1
0
$\{0, 1/2, 2/3, \dots\} \to 1$
$\{x \in \mathbb{Q} \mid x^2 < 3\}$
$\sqrt{3}$
$-\sqrt{3}$
유리수 집합이지만 상한은 무리수
5. 기초 5문항
1. 집합 $S = (3, 7]$ 에 대하여 $\sup S$와 $\inf S$를 각각 구하시오.
정답 : \(\sup S = 7, \inf S = 3\)
2. 집합 $S = \{1, 2, 3, 4\}$ 처럼 원소의 개수가 유한한 집합에서 상한은 항상 무엇과 일치하는가?
정답 : 최대값 (Maximum)
3. $\inf S = 5$ 일 때, $S$의 모든 원소 $x$가 만족해야 하는 부등식은?
정답 : \(x \ge 5\)
4. $\sup S = 10$ 이지만 $10 \notin S$ 인 집합의 예시를 하나 쓰시오.
정답 : \([0, 10)\) 또는 \(\{10 - \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} \}\)
5. 공집합이 아닌 실수 집합 $S$가 아래로 유계(bounded below)이면 반드시 무엇이 존재하는가?
정답 : 하한 (Infimum)
6. 응용 5문항
1. $S = \{ \frac{(-1)^n}{n} \mid n \in \mathbb{N} \}$ 의 상한과 하한을 구하시오.
원소를 나열하면 $\{-1, 1/2, -1/3, 1/4, \dots\}$ 이다. 가장 큰 값은 $1/2$, 가장 작은 값은 $-1$이다.
정답 : \(\sup S = 1/2, \inf S = -1\)
2. 집합 $A$의 상한이 $a$이고 집합 $B$의 상한이 $b$일 때, $C = \{x+y \mid x \in A, y \in B\}$의 상한이 $a+b$임을 증명하는 핵심 아이디어는?
$x \le a, y \le b \implies x+y \le a+b$ 이므로 $a+b$는 상계이다. 또한 임의의 $\epsilon$에 대해 $x > a-\epsilon/2, y > b-\epsilon/2$인 원소들이 존재하므로 $x+y > a+b-\epsilon$ 이 성립한다.
3. $S = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 + x < 6 \}$ 의 상한을 구하시오.