미적분학 30단계 · 11단계 · 미분의 기초

11. 도함수의 정의 (극한 기반)

미분은 단순히 공식을 외워 계산하는 것이 아니라, 함수가 특정 점 근처에서 얼마나 선형적으로(Linearly) 변하는지를 측정하는 도구입니다. 이 단계에서는 할선(Secant line)의 기울기가 접선(Tangent line)의 기울기로 변하는 과정을 극한을 통해 엄밀하게 정의합니다.

1. 개념 기반 목표 지향 수업 지도안

수업 목표 1
평균 변화율의 극한으로서 미분계수의 정의를 기술할 수 있다.

수업 목표 2
미분 가능성과 연속성 사이의 논리적 포함 관계를 증명한다.

수업 목표 3
라이프니츠 기법과 뉴턴 기법의 표기법 차이와 의미를 이해한다.

수업 목표 4
절대값 함수 등의 사례를 통해 미분 불가능한 지점의 특징을 파악한다.

수업 흐름

도입 : "순간적인 속도"를 측정한다는 역설적 표현을 어떻게 수학적으로 해결할지 논의한다.
탐구 1 : 점 $a$에서의 미분계수 $f'(a)$의 정의를 두 가지 형태($h \to 0$ 및 $x \to a$)로 학습한다.
탐구 2 : 좌미분계수와 우미분계수가 존재하고 일치해야 미분 가능하다는 조건을 분석한다.
정리 : 미분 가능한 함수는 반드시 연속이지만, 연속이라고 해서 반드시 미분 가능한 것은 아님을 증명한다.
확장 : 도함수를 하나의 '새로운 함수'로 보고 그 정의역과 치역의 관계를 고찰한다.

2. 개념 상세 설명

개념 1. 미분계수의 정의

함수 $f$가 점 $a$를 포함하는 구간에서 정의될 때, 점 $a$에서의 미분계수(Derivative) $f'(a)$는 다음과 같이 정의된다.

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \quad \text{또는} \quad \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$

이 극한값이 존재할 때 $f$는 $a$에서 미분 가능하다(Differentiable)고 한다.

개념 2. 미분 가능성과 연속성의 관계

함수 $f$가 점 $a$에서 미분 가능하면 $f$는 $a$에서 연속이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.

$$\text{Differentiable at } a \implies \text{Continuous at } a$$

증명 아이디어: $f(x)-f(a) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \cdot (x-a)$ 에 극한을 취하면 $f'(a) \cdot 0 = 0$이 되어 $\lim f(x) = f(a)$가 유도됩니다.

개념 3. 미분 불가능한 경우 (Non-differentiability)

뾰족한 점(Cusp/Corner): 좌우 미분계수가 다를 때 (예: $y=|x|$)
불연속점: 함수가 끊어져 있을 때
수직 접선: 변화율이 무한대로 발산할 때 (예: $y=\sqrt[3]{x}$의 $x=0$)

3. Graph 및 시각적 이해

시각화 1. 할선에서 접선으로의 극한

$h$가 0에 가까워지면 파란 점이 검은 점으로 다가오며, 할선의 기울기가 붉은 접선의 기울기로 수렴합니다.

시각화 2. 뾰족한 점(Corner)에서의 미분 불능

$f(x)=|x|$는 $x=0$에서 연속이지만, 왼쪽 기울기(-1)와 오른쪽 기울기(+1)가 달라 극한값이 존재하지 않습니다.

4. 미분 정의를 이용한 계산 예시

함수 $f(x)$	정의를 이용한 식	결과 $f'(x)$
$x^2$	$\lim \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim \frac{2xh+h^2}{h}$	$2x$
$c$ (상수)	$\lim \frac{c - c}{h} = \lim 0$	$0$
$\sqrt{x}$	유리화를 통한 극한 계산	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$

5. 기초 5문항

1. 미분계수의 정의 식 두 가지를 모두 쓰시오.

정답 : $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

2. 함수가 한 점 $a$에서 미분 가능하기 위해 좌미분계수와 우미분계수가 만족해야 할 조건은?

정답 : 두 값이 각각 존재하고 서로 일치해야 함.

3. $f(x) = x^2$일 때, 정의를 사용하여 $f'(3)$의 값을 구하는 식을 세우시오.

정답 : $\lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^2 - 3^2}{h}$

4. "모든 연속함수는 미분 가능하다"는 명제는 참인가 거짓인가?

정답 : 거짓 (반례: $|x|$)

5. 도함수 $f'(x)$의 기하학적 의미는 무엇인가?

정답 : 곡선 위의 점 $(x, f(x))$에서의 접선의 기울기

6. 응용 5문항

1. 정의를 이용하여 $f(x) = x^3$의 도함수가 $3x^2$임을 증명하시오.

$(x+h)^3 - x^3 = 3x^2h + 3xh^2 + h^3$. $h$로 나누면 $3x^2 + 3xh + h^2$. $h \to 0$일 때 $3x^2$.

2. $f(x) = |x-2|$ 가 $x=2$에서 미분 불가능함을 좌우미분계수를 통해 보이시오.

우미분계수: $\lim_{h \to 0^+} \frac{|2+h-2|-0}{h} = 1$, 좌미분계수: $\lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = -1$.

3. $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(1/x) & x \ne 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$ 가 $x=0$에서 미분 가능함을 보이시오.

$\lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin(1/h) = 0$ (조임 정리).

4. 미분계수의 정의를 $\epsilon-\delta$ 논법을 사용하여 엄밀하게 기술하시오.

5. $f$가 $a$에서 미분 가능하면 $a$에서 연속임을 직접 증명하시오.

7. 심화 5문항

1. 모든 점에서 연속이지만 어느 점에서도 미분 불가능한 함수의 예를 하나 드시오.

정답 : 바이어슈트라스 함수 (Weierstrass function)

2. $f'(a)$가 존재할 때, $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h} = f'(a)$임을 보이시오.

3. 대칭 미분계수(Symmetric derivative)의 극한값이 존재한다고 해서 원래 함수가 미분 가능하다고 할 수 없는 반례를 드시오.

정답 : $f(x) = |x|$ 의 $x=0$ 지점

4. 다변수 함수에서 미분 가능성(Differentiability)과 편미분 존재성(Partial derivatives existence)의 차이를 논하시오.

5. 다르부의 정리(Darboux's Theorem): 도함수 $f'$이 비록 연속이 아닐지라도 중간값 성질을 만족함을 증명하는 논리를 서술하시오.