미적분학 30단계 · 18단계 · 적분 기술
18. 치환적분법 (Substitution Rule)
치환적분법은 미분의 연쇄법칙(Chain Rule)을 거꾸로 적용한 것입니다. 복잡하게 얽힌 합성함수의 구조에서 '내부 함수'를 새로운 변수로 치환함으로써, 적분하기 쉬운 기본 형태로 변환하는 것이 핵심입니다.
1. 개념 기반 목표 지향 수업 지도안
수업 목표 1
부정적분에서 치환을 통해 미분 형식(Differential)을 올바르게 변환한다.
수업 목표 2
정적분 시 치환 변수에 맞춰 적분 구간을 변경하는 습관을 들인다.
수업 목표 3
유리함수, 무리함수 등 형태별 최적의 치환 대상을 찾는 직관을 기른다.
수업 목표 4
대칭성(우함수/기함수)과 치환적분의 관계를 파악한다.
수업 흐름
- 도입 : $\int (2x+1)^{10} dx$를 전개하지 않고 푸는 방법은 없을까? 라는 의문 제시.
- 탐구 1 : 부정적분의 치환 - $u = g(x)$로 두었을 때 $du = g'(x)dx$가 되는 과정 이해.
- 탐구 2 : 정적분의 치환 - 변수가 바뀌면 '동네(구간)'도 바뀐다는 원리 강조.
- 정리 : 자주 쓰이는 치환 패턴(지수함수의 지수, 삼각함수의 각도, 분모의 식 등) 정리.
- 적용 : 치환을 두 번 이상 하거나, 삼각치환(기초)으로 넘어가는 가교 마련.
2. 개념 상세 설명
개념 1. 부정적분의 치환적분법
$u = g(x)$가 미분 가능하고 그 치역이 구간 $I$이며, $f$가 $I$에서 연속이면:
$$\int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du$$
적분 후에는 반드시 $u$를 다시 $x$에 관한 식으로 되돌려 놓아야 합니다.
개념 2. 정적분의 치환적분법
$g'$이 $[a, b]$에서 연속이고 $f$가 $g$의 치역에서 연속이면:
$$\int_{a}^{b} f(g(x))g'(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du$$
※ 정적분에서는 원래 변수로 되돌릴 필요 없이, 바뀐 구간을 사용하여 바로 계산합니다.
개념 3. 대칭성과 적분
치환적분을 통해 다음의 유용한 성질을 유도할 수 있습니다.
- 우함수 ($f(-x)=f(x)$): $\int_{-a}^{a} f(x)dx = 2\int_{0}^{a} f(x)dx$
- 기함수 ($f(-x)=-f(x)$): $\int_{-a}^{a} f(x)dx = 0$
3. 시각적 이해와 전략
시각화 1. 변수 변환의 기하학
$x$축에서의 구간 $[a, b]$가 $u=g(x)$라는 매핑을 통해 $u$축의 구간 $[g(a), g(b)]$로 변환됩니다. 이때 $g'(x)$는 두 구간 사이의 '신축 비율' 역할을 합니다.
4. 주요 치환 전략 (Strategy)
| 피적분함수 형태 |
치환 후보 ($u$) |
비고 |
| $f(g(x)) \cdot g'(x)$ |
$g(x)$ |
가장 전형적인 형태 |
| $\frac{f'(x)}{f(x)}$ |
$f(x)$ |
결과값은 $\ln |f(x)| + C$ |
| $f(\ln x) \cdot \frac{1}{x}$ |
$\ln x$ |
$du = \frac{1}{x}dx$ 활용 |
| $x \sqrt{ax^2 + b}$ |
$ax^2 + b$ |
근호 안의 식 치환 |
5. 기초 5문항
1. $\int (3x - 2)^5 dx$ 를 치환을 이용해 구하시오.
$u = 3x-2, du = 3dx \implies \int u^5 \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{18}u^6$.
정답 : \(\frac{1}{18}(3x-2)^6 + C\)
2. $\int \frac{2x}{x^2+1} dx$ 를 계산하시오.
정답 : \(\ln(x^2+1) + C\)
3. 정적분 $\int_0^1 e^{2x} dx$ 를 치환하여 계산할 때, 바뀐 적분 구간은?
정답 : \([0, 2]\) (\(u=2x\)로 치환 시)
4. $\int \sin(5x) dx$ 의 결과는?
정답 : \(-\frac{1}{5}\cos(5x) + C\)
5. $\int_{-3}^3 x^5 \sqrt{x^2+1} dx$ 의 값은? (힌트: 대칭성)
정답 : 0 (피적분함수가 기함수임)
6. 응용 5문항
1. $\int \frac{(\ln x)^2}{x} dx$ 를 구하시오.
$u=\ln x$ 치환. $\int u^2 du = \frac{1}{3}u^3$.
정답 : \(\frac{1}{3}(\ln x)^3 + C\)
2. $\int_0^{\sqrt{\pi}} x \sin(x^2) dx$ 의 값을 구하시오.
$u=x^2, du=2xdx$. 구간 $[0, \pi]$. $\frac{1}{2} \int_0^{\pi} \sin u du = \frac{1}{2}[-\cos u]_0^{\pi} = \frac{1}{2}(1 - (-1)) = 1$.
3. $\int \tan x dx$ 를 치환적분을 이용해 유도하시오.
$\int \frac{\sin x}{\cos x} dx$. $u=\cos x$ 두면 $du = -\sin x dx$. $-\int \frac{1}{u} du = -\ln|\cos x|$.
정답 : \(\ln|\sec x| + C\)
4. $\int e^x \sqrt{1+e^x} dx$ 를 계산하시오.
5. $\int_1^2 \frac{e^{1/x}}{x^2} dx$ 의 값을 구하시오.
7. 심화 5문항
1. $f$가 연속일 때, $\int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(a+b-x)dx$ 임을 증명하시오.
2. $\int \frac{1}{x \ln x \ln(\ln x)} dx$ 를 구하시오.
정답 : \(\ln|\ln(\ln x)| + C\)
3. 유리함수의 적분에서 분모의 차수가 분자의 차수보다 1 높을 때 치환적분이 유리한 이유를 논하시오.
4. $\int_0^{\pi/2} \frac{\sin^n x}{\sin^n x + \cos^n x} dx$ 의 값을 치환을 이용해 구하시오. (상당히 유명한 테크닉)
정답 : \(\pi/4\)
5. 이상적분(Improper Integral) $\int_0^\infty \frac{e^{-1/x}}{x^2} dx$ 의 수렴 여부를 치환을 통해 판정하고 값을 구하시오.