미적분학 30단계 · 20단계 · 적분 기술

20. 유리함수의 적분과 부분분수 (Partial Fractions)

두 다항식 $P(x), Q(x)$에 대하여 $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ 형태인 유리함수의 적분은 분모 $Q(x)$의 인수분해 형태에 따라 결정됩니다. 복잡한 유리식을 부분분수로 분해하면 결국 로그함수나 역삼각함수의 적분 문제로 귀결됩니다.

1. 개념 기반 목표 지향 수업 지도안

수업 목표 1
가분수 형태의 유리식을 다항식의 나눗셈으로 정리할 수 있다.

수업 목표 2
분모의 인수분해 유형에 따른 부분분수 설정법을 익힌다.

수업 목표 3
미정계수를 결정하는 수치대입법과 계수비교법을 활용한다.

수업 목표 4
$\int \frac{1}{x^2+a^2} dx$ 형태의 역삼각함수 적분을 적용한다.

수업 흐름

도입 : $\int \frac{1}{x^2-1} dx$를 $\ln$을 이용해 풀기 위해 어떻게 식을 쪼개야 할지 고민.
탐구 1 : 분자의 차수가 분모보다 크거나 같을 때(가분수), 장제법(Long Division)을 통한 차수 낮추기.
탐구 2 : 분모가 서로 다른 일차식의 곱, 거듭제곱, 이차식인 경우의 분해 전략 수립.
정리 : Heaviside Cover-up Method(헤비사이드 가림법)를 이용한 빠른 계수 찾기.
적용 : 완전제곱식을 이용한 분모 변형 후 $\tan^{-1}$ 꼴로 유도하기.

2. 개념 상세 설명

개념 1. 부분분수 분해의 4가지 유형

경우 1 (서로 다른 일차식): $\frac{1}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$
경우 2 (일차식의 거듭제곱): $\frac{1}{(x-a)^2} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}$
경우 3 (기약 이차식): $\frac{1}{x^2+px+q} = \frac{Ax+B}{x^2+px+q}$ (단, 판별식 $D < 0$)
경우 4 (이차식의 거듭제곱): $\frac{1}{(x^2+1)^2} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{(x^2+1)^2}$

개념 2. 필수 기본 적분 공식

$$\int \frac{1}{x-a} dx = \ln |x-a| + C$$ $$\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) + C$$ $$\int \frac{x}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{2} \ln(x^2+a^2) + C$$

3. 시각적 이해: 분해 전략

부분분수 분해 프로세스

1. 분자의 차수가 낮을 때까지 나눗셈 $\to$ 2. 분모 인수분해 $\to$ 3. 적절한 폼 설정 $\to$ 4. 계수 결정 $\to$ 5. 항별 적분

4. 기초 5문항

1. $\int \frac{1}{(x-1)(x+2)} dx$ 를 부분분수로 분해하기 위한 식을 세우시오.

정답 : $\frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}$

2. $\int \frac{x^2+1}{x^2} dx$ 처럼 분자의 차수가 높을 때 가장 먼저 해야 할 일은?

정답 : 다항식의 나눗셈 (또는 항별 분리)

3. $\int \frac{1}{x^2+4} dx$ 의 적분 결과는?

정답 : $\frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C$

4. $\frac{x}{(x-1)^2(x+1)}$ 를 분해할 때 필요한 항의 개수는?

정답 : 3개 ($\frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+1}$)

5. $\int \frac{2x+3}{x^2+3x+2} dx$ 처럼 분모의 미분이 분자인 경우의 답은?

정답 : $\ln |x^2+3x+2| + C$

5. 응용 5문항

1. $\int \frac{1}{x^2-5x+6} dx$ 를 계산하시오.

$\frac{1}{(x-2)(x-3)} = \frac{-1}{x-2} + \frac{1}{x-3}$.

정답 : $\ln \left| \frac{x-3}{x-2} \right| + C$

2. $\int \frac{x+4}{x^2+x} dx$ 의 값을 구하시오.

$\frac{x+4}{x(x+1)} = \frac{4}{x} - \frac{3}{x+1}$.

정답 : $4\ln |x| - 3\ln |x+1| + C$

3. $\int \frac{1}{x^2+2x+5} dx$ 를 계산하시오. (힌트: 완전제곱식)

$x^2+2x+5 = (x+1)^2+4$. $u=x+1$로 치환.

정답 : $\frac{1}{2} \tan^{-1} \left(\frac{x+1}{2}\right) + C$

4. $\int \frac{x^3}{x-1} dx$ 를 계산하시오.

나눗셈 결과: $x^2+x+1 + \frac{1}{x-1}$.

5. $\int \frac{3x^2+x+1}{(x-1)(x^2+1)} dx$ 의 분해 형태를 적으시오.

6. 심화 5문항

1. $\int \frac{1}{x^4-1} dx$ 를 부분분수를 이용하여 적분하시오.

2. $\int \frac{1}{(x^2+1)^2} dx$ 를 삼각치환 또는 점화식을 이용하여 구하시오.

3. 분모에 $n$중근이 있는 경우($\frac{1}{(x-a)^n}$) 계수를 효율적으로 구하는 미분법 활용 기술을 설명하시오.

4. $\int \frac{1}{1+x^3} dx$ 를 계산하시오. (분모 인수분해 $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$ 필수)

5. 유리함수 적분에서 '대수적 폐쇄성'에 대해 논하시오. (모든 유리함수의 적분은 로그와 역삼각함수로 표현 가능한가?)